Аксиома бесконечности

Аксиомой бесконечности (англ. axiom of infinity) называется следующее высказывание теории множеств:

${\displaystyle \exists a\ (\varnothing \in a\ \land \ \forall b\ (b\in a\to b\cup \{b\}\in a)\ )}$, где ${\displaystyle b\cup \{b\}=\{c:\ c\in b\ \lor \ c=b\}}$

Из аксиомы бесконечности следует существование [по меньшей мере одного] бесконечного множества.

Другие формулировки аксиомы бесконечности

${\displaystyle \exists a_{\infty }\ (\exists a_{\varnothing }\ (a_{\varnothing }\in a_{\infty }\ \land \ \forall b\ (b\notin a_{\varnothing }))\ \ \land \ \ \forall b\exists c\forall d\ (b\in a_{\infty }\to (c\in a_{\infty }\ \land \ (d\in c\leftrightarrow d\in b\ \lor \ d=b))))}$

${\displaystyle \exists a_{\infty }\ (\exists a_{\varnothing }\ (a_{\varnothing }\in a_{\infty }\ \land \ \forall b\ (b\notin a_{\varnothing }))\ \ \land \ \ \forall b\forall c\exists d\ (b\in a_{\infty }\to ((d\in c\leftrightarrow d\in b\ \lor \ d=b)\to c\in a_{\infty })))}$

Примечания

0. Индуктивные высказывания

Примеры

${\displaystyle \exists a\ (\varnothing \in a\quad \land \quad \forall b\ (b\in a\to \{b\}\in a))}$, где ${\displaystyle \{b\}}$ — множество, единственным элементом которого является ${\displaystyle b}$.

${\displaystyle \exists a\ (\varnothing \in a\quad \land \quad \forall b\ (b\in a\to {\mathcal {P}}(b)\in a))}$, где ${\displaystyle {\mathcal {P}}(b)}$ — булеан множества ${\displaystyle b}$

1. О выводимости аксиомы бесконечности из других высказываний

2. О единственности «бесконечного множества»

3. Прочее

См. также

• Аксиоматика теории множеств

• Математическая индукция

• Трансфинитная индукция

• Натуральные числа