Алгебраическая теория чисел

Алгебраическая теория чисел — раздел теории чисел, основная задача которого — изучение свойств (целых элементов) (числовых полей).

В алгебраической теории чисел понятие числа расширяется, в качестве алгебраических чисел рассматривают корни многочленов с рациональными коэффициентами. При этом аналогом целых чисел выступают (целые алгебраические числа), то есть корни (унитарных многочленов) с целыми коэффициентами. В отличие от целых чисел в кольце целых алгебраических чисел не обязательно выполняется свойство (факториальности), то есть единственности разложения на простые множители.

Теория алгебраических чисел обязана своим появлением изучению диофантовых уравнений и в том числе попыткам доказать великую теорему Ферма. (Куммеру) принадлежит равенство

${\displaystyle x^{n}=z^{n}-y^{n}=\prod _{i=1}^{n}(z-a_{i}y)}$, где ${\displaystyle a_{i}}$ — корни степени ${\displaystyle n}$ из единицы.

Таким образом Куммер определил новые целые числа вида ${\displaystyle z+a_{i}y}$. Позднее Лиувилль (показал), что если алгебраическое число является корнем уравнения степени ${\displaystyle n}$, то к нему нельзя подойти ближе чем на ${\displaystyle Q^{-n}}$, приближаясь дробями вида ${\displaystyle P/Q}$, где ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ — целые взаимно простые числа.

После определения алгебраических и трансцендентных чисел в алгебраической теории чисел выделилось направление, которое занимается доказательством трансцендентности конкретных чисел, и направление, которое занимается алгебраическими числами и изучает степень их приближения рациональными и алгебраическими.

Алгебраическая теория чисел включает в себя такие разделы, как , (теорию Галуа), (теорию полей классов), (дзета-) и L-функции Дирихле, ^[англ.] и многое другое.^[]

Одним из основных приёмов является вложение поля алгебраических чисел в своё пополнение по какой-то из метрик — (архимедовой) (например, в поле вещественных или комплексных чисел) или неархимедовой (например, в поле p-адических чисел).

Примечания

1. Чисел теория // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

Литература

• (И. М. Виноградов). Алгебраическая теория чисел // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1977—1985. // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.