Билинейная форма

Пусть ${\displaystyle L}$ есть векторное пространство над полем ${\displaystyle K}$ (чаще всего рассматриваются поля ${\displaystyle K=\mathbb {R} }$ или ${\displaystyle K=\mathbb {C} }$).

Билинейной формой называется функция ${\displaystyle F\colon L\times L\to K}$, линейная по каждому из аргументов:

${\displaystyle F(x+z,\,y)=F(x,\,y)+F(z,\,y)}$,

${\displaystyle F(x,\,y+z)=F(x,\,y)+F(x,\,z)}$,

${\displaystyle F(\lambda x,\,y)=\lambda F(x,\,y)}$,

${\displaystyle F(x,\,\lambda y)=\lambda F(x,\,y)}$,

здесь ${\displaystyle x,y,z\in L}$ и ${\displaystyle \lambda \in K.}$

Билинейная форма — частный случай понятия тензора (тензор ранга (0,2)).

Альтернативное определение

В случае конечномерных пространств (например, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) чаще используется другое определение.

Пусть ${\displaystyle L}$ есть множество векторов вида ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$ где ${\displaystyle x_{i}\in K,i={\overline {1,n}}}$.

Билинейными формами называются функции ${\displaystyle F\colon L\times L\to K}$ вида

${\displaystyle F(x,y)=\sum _{i,\,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}y_{j},}$

где ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$ ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}),}$ а ${\displaystyle a_{ij}}$ — некоторые константы из поля ${\displaystyle K.}$

Говоря другими словами, билинейная форма — это функция от двух векторов по ${\displaystyle n}$ переменных компонент в каждом, являющаяся (однородным многочленом) первой степени относительно переменных компонент каждого вектора.

Связанные определения

• Билинейная форма ${\displaystyle F}$ называется симметричной, если ${\displaystyle F(x,\,y)=F(y,\,x)}$ для любых векторов ${\displaystyle x,y\in L}$.
• Билинейная форма ${\displaystyle F}$ называется кососимметричной (антисимметричной), если ${\displaystyle F(x,\,y)=-F(y,\,x)}$ для любых векторов ${\displaystyle x,y\in L}$.
• Вектор ${\displaystyle x\in L}$ называется ортогональным (более точно, ортогональным слева) подпространству ${\displaystyle M\subset L}$ относительно ${\displaystyle F}$, если ${\displaystyle F(x,\,y)=0}$ для всех ${\displaystyle y\in M}$. Совокупность векторов ${\displaystyle x\in L}$, ортогональных подпространству ${\displaystyle M\subset L}$ относительно данной билинейной формы ${\displaystyle F}$, называется (ортогональным дополнением) подпространства ${\displaystyle M\subset L}$ относительно ${\displaystyle F}$ и обозначается ${\displaystyle M^{\perp }}$.
• Радикалом билинейной формы ${\displaystyle F}$ называется ортогональное дополнение самого пространства ${\displaystyle L}$ относительно ${\displaystyle F}$, то есть совокупность ${\displaystyle L^{\perp }}$ векторов ${\displaystyle x\in L}$, для которых ${\displaystyle F(x,\,y)=0}$ при всех ${\displaystyle y\in L}$.

Свойства

• Множество всех билинейных форм ${\displaystyle W(L,L)}$, заданных на произвольном фиксированном пространстве, является линейным пространством.
• Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной форм.
• При выбранном базисе ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ в ${\displaystyle L}$ любая билинейная форма ${\displaystyle F}$ однозначно определяется матрицей

${\displaystyle {\begin{pmatrix}F(e_{1},\,e_{1})&F(e_{1},\,e_{2})&\ldots &F(e_{1},\,e_{n})\\F(e_{2},\,e_{1})&F(e_{2},\,e_{2})&\ldots &F(e_{2},\,e_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\F(e_{n},\,e_{1})&F(e_{n},\,e_{2})&\ldots &F(e_{n},\,e_{n})\end{pmatrix}},}$

так что для любых векторов ${\displaystyle x=x^{1}e_{1}+x^{2}e_{2}+\cdots +x^{n}e_{n}}$ и ${\displaystyle y=y^{1}e_{1}+y^{2}e_{2}+\cdots +y^{n}e_{n}}$

${\displaystyle F(x,\,y)={\begin{pmatrix}x^{1}&x^{2}&\ldots &x^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F(e_{1},\,e_{1})&F(e_{1},\,e_{2})&\ldots &F(e_{1},\,e_{n})\\F(e_{2},\,e_{1})&F(e_{2},\,e_{2})&\ldots &F(e_{2},\,e_{n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\F(e_{n},\,e_{1})&F(e_{n},\,e_{2})&\ldots &F(e_{n},\,e_{n})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}y^{1}\\y^{2}\\\vdots \\y^{n}\end{pmatrix}},}$

то есть

${\displaystyle F(x,\,y)=\sum _{i,j=1}^{n}f_{ij}\,x^{i}y^{j},\ \quad f_{ij}=F(e_{i},\,e_{j}).}$

• Это также означает, что билинейная форма полностью определяется своими значениями на векторах базиса.
• Размерность пространства ${\displaystyle W(L,L)}$ есть ${\displaystyle \dim W(L,L)=(\dim L)^{2}}$.
• Несмотря на то, что матрица билинейной формы ${\displaystyle F}$ зависит от выбора базиса, ранг матрицы билинейной формы в любом базисе один и тот же, он называется рангом билинейной формы ${\displaystyle F}$. Билинейная форма называется невырожденной, если её ранг равен ${\displaystyle \dim L}$.
• Для любого подпространства ${\displaystyle M\subset L}$ ортогональное дополнение ${\displaystyle M^{\perp }}$ является подпространством ${\displaystyle M^{\perp }\subset L}$.
• ${\displaystyle \dim L^{\perp }=\dim L-r}$, где ${\displaystyle r}$ — ранг билинейной формы ${\displaystyle F}$.

Преобразование матрицы билинейной формы при замене базиса

Матрица, представляющая билинейную форму в новом базисе, связана с матрицей, представляющей её в старом базисе, через матрицу, обратную матрице перехода к новому базису (матрице Якоби), через которую преобразуются координаты векторов.

Иными словами, если координаты вектора в старом базисе ${\displaystyle X^{i}}$ выражаются через координаты в новом ${\displaystyle x^{i}}$ через матрицу ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle X^{i}=\sum \beta _{j}^{i}x^{j}}$, или в матричной записи ${\displaystyle X=\beta x}$, то билинейная форма ${\displaystyle F}$ на любых векторах ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ запишется, как

${\displaystyle F(x,\,y)=\sum _{i,j}F_{ij}X^{i}Y^{j}=\sum _{i,j,k,m}F_{ij}\beta _{k}^{i}\beta _{m}^{j}x^{k}y^{m}}$,

то есть компоненты матрицы, представляющей билинейную форму в новом базисе, будут:

${\displaystyle f_{km}=\sum _{i,j}F_{ij}\beta _{k}^{i}\beta _{m}^{j}}$,

или, в матричной записи:

${\displaystyle f=\beta ^{T}F\beta }$,

${\displaystyle \beta =\alpha ^{-1}}$, где ${\displaystyle \alpha }$ — матрица прямого преобразования координат ${\displaystyle x=\alpha X}$.

Связь с тензорными произведениями и функтором Hom

Из следует, что билинейные формы на V находятся во взаимно-однозначном соответствии со множеством ${\displaystyle {\text{Hom}}(V\otimes V,k)}$, где k — основное поле.

Так как (функтор) тензорного произведения и (функтор Hom) являются (сопряженными), ${\displaystyle {\text{Hom}}(V\otimes V,k)\cong {\text{Hom}}(V,{\text{Hom}}(V,k))}$, то есть билинейной форме соответствует линейное отображение из ${\displaystyle V}$ в (двойственное пространство) ${\displaystyle V^{*}}$. Это соответствие может быть проведено двумя путями (так как существует два функтора тензорного произведения — с зафиксированным левым аргументом и с зафиксированным правым), их часто обозначают как

${\displaystyle B_{1}({\mathsf {v}})=B({\mathsf {v}},\cdot )}$

${\displaystyle B_{2}({\mathsf {v}})=B(\cdot ,{\mathsf {v}})}$.

См. также

• Квадратичная форма
• (Билинейная операция)
• (Билинейное преобразование)

Литература

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — М.: Наука, 1975.
• (Гельфанд И. М.) Лекции по линейной алгебре. — М.: Наука, 1971.
• (Фаддеев Д. К.) Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру, М.: Наука, 1977.
• (Беклемишев Д. В.) Аналитическая геометрия и линейная алгебра. — М.: Высш. шк., 1998. — 320 с.
• Гельфанд И. М., . Курс лекций.
• (Шафаревич И. Р.), Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.