Борелевская сигма-алгебра

Боре́левская си́гма-а́лгебра — минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (также она содержит и все замкнутые). Эти подмножества также называются борелевскими.

Если не оговорено иное, в качестве топологического пространства выступает вещественная прямая.

Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.

Названа в честь Эмиля Бореля.

Связанные понятия

• Борелевское пространство — топологическое пространство, снабжённое борелевской сигма-алгеброй.
• Борелева (борелевская) функция — отображение одного топологического пространства в другое (обычно оба суть пространства вещественных чисел), для которого прообраз любого борелевского множества есть борелевское множество.
• Мера Бореля — мера определённая на всех открытых (а значит, и на всех борелевских) множествах топологического пространства.

Свойства

• Всякое борелевское множество на отрезке является (измеримым) относительно меры Лебега, но обратное неверно.

Пример измеримого по Лебегу, но не борелевского множества

Любое подмножество множества нулевой меры автоматически измеримо по Лебегу, но такое подмножество может не быть борелевским.

Рассмотрим функцию ${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{2}}(x+c(x))}$ на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$, где ${\displaystyle c(x)}$ — канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие — измерима. Также измерима обратная к ней функция ${\displaystyle g}$. Мера образа (канторова множества) равна ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$, так как мера образа его дополнения равна ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$. Поскольку мера образа (канторова множества) ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество ${\displaystyle A}$. Тогда его прообраз ${\displaystyle D=f^{-1}(A)}$ измерим (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не является борелевским (поскольку иначе ${\displaystyle A}$ было бы измеримо как прообраз борелевского множества ${\displaystyle D}$ при измеримом отображении ${\displaystyle g}$).

Литература

• В. Г. Кановей, В. А. Любецкий. Современная теория множеств: борелевские и проективные множества. — МЦНМО, 2010. — 320 с. — ISBN 78-5-94057-683-9.