Вавилонская математика

Данная статья — часть обзора История математики.

Вавилонская табличка (около 1800—1600 г. до н. э.) с вычислением ${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1+24/60+51/60^{2}+10/60^{3}}$
= 1.41421296…

Общие сведения

Вавилонское царство возникло в начале II тысячелетия до н. э.. на территории современного Ирака, придя на смену Шумеру и Аккаду и унаследовав их развитую культуру. Просуществовало до персидского завоевания в 539 году до н. э.

Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней (более 500000, из них около 400 связаны с математикой). Поэтому мы имеем довольно полное представление о математических достижениях учёных Вавилонского государства. Корни культуры вавилонян были в значительной степени унаследованы от шумеров — клинописное письмо, счётная методика и т. п.

Вавилонские математические тексты носят преимущественно учебный характер. Из них видно, что вавилонская расчётная техника была намного совершеннее (египетской), а круг решаемых задач существенно шире. Есть задачи на решение (квадратных уравнений), (геометрические прогрессии). При решении применялись пропорции, средние арифметические, проценты. Методы работы с (прогрессиями) были глубже, чем у (египтян).

В вавилонских текстах, как и в (египетских), излагается только алгоритм решения (на конкретных примерах), без комментариев и доказательств. Однако анализ алгоритмов показывает, что развитая общая математическая теория у вавилонян, несомненно, была.

Нумерация

(Вавилонские 60-ричные цифры)

Шумеры и вавилоняне использовали (60-ричную позиционную систему счисления), увековеченную в делении круга на 360°. Писали они, как и мы, слева направо. Однако запись необходимых 60 цифр была своеобразной. Значков для цифр было всего два, обозначим их Е (единицы) и Д (десятки); позже появился значок для нуля. Цифры от 1 до 9 изображались как Е, ЕЕ, … ЕЕЕЕЕЕЕЕЕ. Далее шли Д, ДЕ, … ДДДДДЕЕЕЕЕЕЕЕЕ (59). Таким образом, число изображалось в позиционной 60-ричной системе, а его 60-ричные цифры — в аддитивной десятичной. Аналогично записывались дроби. Для популярных дробей 1/2, 1/3 и 2/3 были специальные значки.

Древнегреческие и средневековые европейские математики (в том числе и (Коперник)), для обозначения дробных частей пользовались вавилонской 60-ричной системой. Благодаря этому, мы делим час на 60 минут и минуты на 60 секунд. Вопреки распространённому мнению, часы, минуты и секунды не использовались в Древнем Вавилоне. Вместо этого использовался «двойной час» длительностью 120 современных минут, а также «время-градус» длительностью 1⁄360 дня (то есть четыре минуты) и «третья часть» длительностью 31⁄3 современных секунды (как в современном еврейском календаре).

В современной научной литературе для удобства используется компактная запись вавилонского числа, например:

4,2,10; 46,52

Расшифровывается эта запись следующим образом: 4 × 3600 + 2 × 60 + 10 + 46/60 + 52/3600

Арифметика и алгебра

Основой вычислительной техники вавилонян был громоздкий комплект специальных арифметических таблиц. Он включал таблицы для умножения (отдельно для умножения на 1…20, 30…50), обратных величин, квадратов, (кубов), квадратных и (кубических корней) и многие другие. Одна из таблиц помогала находить показатель степени n, если дано число вида ${\displaystyle 2^{n}}$ (эти (двоичные логарифмы) использовались для подсчёта процентов по кредиту). Деление целых чисел m/n вавилоняне заменяли умножением m ×(1/n), а для нахождения 1/n использовалась упомянутая выше таблица обратных величин.

Линейные и (квадратные уравнения) (см. (Plimpton 322)) решались ещё в эпоху (Хаммурапи) (он правил в 1793—1750 годах до н. э.); при этом использовалась геометрическая терминология (произведение ab называлось площадью, abc — объёмом, и т. д.). Многие значки для одночленов были шумерскими, из чего можно сделать вывод о древности этих алгоритмов; эти значки употреблялись как буквенные обозначения для неизвестного (в терминах современной алгебры). Встречаются также (кубические уравнения) и системы линейных уравнений.

Для вычисления квадратных корней вавилоняне открыли быстро сходящийся (итерационный процесс). Начальное приближение для ${\displaystyle {\sqrt {a}}}$ рассчитывалось исходя из ближайшего к корню (в меньшую сторону) натурального числа ${\displaystyle n}$. Представив подкоренное выражение в виде: ${\displaystyle a=n^{2}+r}$, получаем: ${\displaystyle x_{0}=n+{\frac {r}{2n}}}$, затем применялся итеративный процесс уточнения, соответствующий (методу Ньютона):

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\ }$

Итерации в этом методе очень быстро сходятся. Для ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$, например, ${\displaystyle a=5;\;n=2;\;r=1;\ x_{0}={\frac {9}{4}}=2{,}25,}$ и мы получаем последовательность приближений:

${\displaystyle x_{1}={\frac {161}{72}}=2{,}23611;\;x_{2}={\frac {51841}{23184}}=2{,}2360679779}$

В заключительном значении верны все цифры, кроме последней.

Геометрия

В геометрии рассматривались те же фигуры, что и в (Египте), плюс (сегмент круга) и (усечённый конус). В ранних документах полагают ${\displaystyle \pi =3}$; позже встречается приближение 25/8 = 3,125 (у египтян 256/81 ≈ 3,1605). Встречается также и необычное правило: площадь круга есть 1/12 от квадрата длины окружности, то есть ${\displaystyle \pi ^{2}R^{2}/3}$. Впервые появляется (ещё при (Хаммурапи)) (теорема Пифагора), причём в общем виде; она снабжалась особыми таблицами и широко применялась при решении разных задач. Вавилоняне умели вычислять площади правильных многоугольников; видимо, им был знаком принцип подобия. Для площади неправильных четырёхугольников использовалась та же приближённая формула, что и в (Египте): ${\displaystyle S={\frac {a+c}{2}}\cdot {\frac {b+d}{2}}}$.

От вавилонской математики ведёт начало принятое сегодня измерение углов градусами, минутами и секундами (введение этих единиц в древнегреческую математику обычно приписывают (Гипсиклу), II век до н. э.)

Венцом планиметрии была (теорема Пифагора); (Ван дер Варден) считает, что вавилоняне открыли её между 2000 и 1786 годами до н. э..

Историческое влияние

Значительные достижения вавилонских математиков и астрономов стали фундаментом для науки последующих цивилизаций, и прежде всего — науки древней Греции. Всё же богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приёмов, лишённых общей системы и доказательной базы. Систематический доказательный подход в математике появился только у греков.

Примечания

1. История математики, 1970, с. 35.
2. Матвиевская Г. П., 1967, с. 7—8.
3. Стр. 325 в O Neugebauer. The astronomy of Maimonides and its sources (англ.) // ^[англ.] : journal. — 1949. — Vol. 22. — P. 321—360.
4. История математики, 1970, с. 37—39.
5. Матвиевская Г. П., 1967, с. 6—7.
6. История математики, 1970, с. 47.
7. van der Waerden, Bartel Leendert. Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. — Springer, 1983. — .

Литература

• Ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. — М.: Наука, 1959. — 456 с.
• (Веселовский И. Н.) Вавилонская математика // Труды Института истории естествознания и техники. — М.: Академия наук СССР, 1955. — Вып. 5. — С. 241—304..
• (Выгодский М. Я.) Арифметика и алгебра в древнем мире. — М.: Наука, 1967.
• (Глейзер Г. И.) История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
• Депман И. Я. История арифметики. Пособие для учителей. — Изд. второе. — М.: Просвещение, 1965. — 416 с.
• История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики, в трёх томах / Под редакцией (А. П. Юшкевича). — М.: Наука, 1970. — Т. I.
• Матвиевская Г. П. Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке. — Ташкент: ФАН, 1967. — 344 с. Вопреки названию, книга прослеживает историю понятия числа с самых древних времён.
• (Нейгебауэр О.) Точные науки в древности. М., 1968.
• Раик А. Е. Две лекции о египетской и вавилонской математике // (Историко-математические исследования). — М.: (Физматгиз), 1959. — № 12. — С. 271—320.
• Рыбников К. А. История математики в двух томах. — М.: Изд. МГУ.
  • Том I. (1960). Том II. (1963)
• Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. (А. П. Юшкевича). — М.: Просвещение, 1976. — 318 с.
• Friberg J. Unexpected links between Egyptian and Babylonian mathematics. World Scientific, 2005.
• Friberg J. Amazing traces of a Babylonian origin in Greek mathematics. World Scientific, 2007.

Ссылки

• Mesopotamian Mathematics от 20 февраля 2018 на Wayback Machine (англ.)
• O’Connor, J. J. and Robertson, E. F., An overview of Babylonian mathematics, MacTutor History of Mathematics, (December 2000).