Грани́ца мно́жества A — множество всех точек, расположенных сколь угодно близко как к точкам во множестве A, так и к точкам вне множества A.
Определение
Пусть дано топологическое пространство , где
— произвольное множество, а
— определённая на
топология. Пусть рассматривается множество
Тогда точка
называется грани́чной то́чкой мно́жества
, только если для любой её окрестности
целиком лежащей в этом топологическом пространстве, справедливо:
и одновременно с этим
Множество всех граничных точек множества называется границей множества
(в
) и обозначается
или
если необходимо подчеркнуть, что граница рассматривается относительно объемлющего пространства
.
Свойства
— замкнутое множество;
— открытое множество тогда и только тогда, когда
— замкнутое множество тогда и только тогда, когда
— открытое и одновременно замкнутое множество тогда и только тогда, когда
, причем равенство
достигается тогда и только тогда, когда
Примеры
Рассмотрим числовую прямую со (стандартной топологией). Тогда: для
:
- Для
:
При этом очень существенно, относительно какого объемлющего топологического пространства рассматривается граница множества.
Например, дана стандартная топология на Тогда граница открытого круга
относительно этой топологии равна окружности
потому что окрестность, с помощью понятия которой и определяется граница множества, является плоской фигурой (окрестностью может служить, например, круг с любым ненулевым радиусом) и для того, чтобы любая окрестность граничной точки могла пересекаться как с кругом
так и с его дополнением
граничная точка должна быть на окружности
Если же рассмотреть стандартную топологию на то границей открытого круга
будет замкнутый круг
поскольку внутри
окрестность является уже 3-мерной фигурой (допустим, шаром), а дополнением круга
относительно
уже является
. Соответственно, в таком случае под определение граничной точки открытого круга
уже будет попадать не только любая точка окружности
но и любая точка исходного множества
См. также
- (Край многообразия)
- (Замыкание (топология))
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер