Длина свободного пробега

Длина свободного пробега молекулы — это среднее расстояние ${\displaystyle \lambda }$, которое пролетает частица за время между двумя последовательными столкновениями.

Для каждой молекулы это расстояние различно, поэтому в кинетической теории газов под длиной свободного пробега обычно подразумеваетсясредняя длина свободного пробега <${\displaystyle \lambda }$>, которая является характеристикой всей совокупности молекул газа при заданных значениях давления и температуры.

Теория рассеяния

Слой мишени

Представим поток частиц, проходящих через мишень размером ${\displaystyle L\times L}$, и рассмотрим бесконечно тонкий слой этой мишени (см. рисунок). Красным здесь обозначены атомы, с которыми частицы падающего пучка могут столкнуться. Значение длины свободного пробега будет зависеть от характеристик этой системы. Если все частицы мишени покоятся, то выражение для длины свободного пробега будет выглядеть как:

${\displaystyle \ell =(\sigma n)^{-1},}$

где n — количество частиц мишени в единице объёма, а σ — (эффективное сечение).

Площадь такого слоя L², объём L² dx, и тогда количество неподвижных атомов в нём n L² dx. Вероятность ${\displaystyle dP}$ рассеяния этим слоем одной частицы равна отношению части площади сечения, «перекрываемой» всеми рассеивающими частицами, ко всей площади сечения:

${\displaystyle dP={\frac {\sigma nL^{2}\,dx}{L^{2}}}=n\sigma \,dx,}$ где σ — площадь, или, более точно, сечение рассеяния одного атома.

Тогда уменьшение ${\displaystyle dI}$ интенсивности потока будет равно начальной интенсивности, умноженной на вероятность рассеяния частицы внутри мишени:

${\displaystyle dI=-In\sigma \,dx.}$

Получаем дифференциальное уравнение

${\displaystyle {\frac {dI}{dx}}=-In\sigma =-{\frac {I}{\ell }},}$

решение которого известно как закон (закон Бугера) и имеет вид ${\displaystyle I=I_{0}e^{-x/\ell }}$, где x — расстояние, пройденное пучком, I₀ — интенсивность пучка до того, как он попал в мишень, а ℓ называется средней длиной свободного пробега, потому что она равна среднему расстоянию, пройденному частицей пучка до остановки. Чтобы убедиться в этом, обратим внимание, что вероятность того, что частица будет рассеяна в слое от x до x + dx, равна

${\displaystyle dP(x)={\frac {I(x)-I(x+dx)}{I_{0}}}={\frac {1}{\ell }}e^{-x/\ell }dx.}$

И таким образом, среднее значение x будет равно

${\displaystyle \langle x\rangle =\int _{0}^{\infty }xdP(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x}{\ell }}e^{-x/\ell }\,dx=\ell .}$

Отношение части частиц, которые не рассеялись мишенью, к количеству, падающему на её поверхность, называется коэффициентом пропускания ${\displaystyle T=I/I_{0}=e^{-x/\ell }}$, где x = dx — толщина мишени

Кинетическая теория

В кинетической теории газов длина свободного пробега частицы (например, молекулы) — это среднее расстояние, которое проходит частица за время между столкновениями с другими движущимися частицами. В приведенном выше выводе предполагалось, что частицы-мишени находятся в состоянии покоя, поэтому формула ${\displaystyle \ell =(n\sigma )^{-1}}$, вообще говоря, справедлива только для падающих частиц со скоростями, высокими относительно скоростей совокупности таких же частиц со случайным расположением. В этом случае движения частиц мишени будут незначительны, а (относительная скорость) примерно равна скорости частицы.

Если же частица пучка является частью установившейся равновесной системы с идентичными частицами, то квадрат относительной скорости равен:

${\displaystyle {\overline {\mathbf {v} _{\rm {relative}}^{2}}}={\overline {(\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2})^{2}}}={\overline {\mathbf {v} _{1}^{2}+\mathbf {v} _{2}^{2}-2\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}}.}$

В состоянии равновесия значения скоростей ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ случайны и независимы, поэтому ${\displaystyle {\overline {\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}}=0}$, а относительная скорость равна

${\displaystyle v_{\rm {rel}}={\sqrt {\overline {\mathbf {v} _{\rm {relative}}^{2}}}}={\sqrt {\overline {\mathbf {v} _{1}^{2}+\mathbf {v} _{2}^{2}}}}={\sqrt {2}}v.}$

Это означает, что количество столкновений равно ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$, умноженному на количество неподвижных целей. Следовательно, применимо следующее соотношение:

${\displaystyle \ell =({\sqrt {2}}\,n\sigma )^{-1}}$

Из (закона Менделеева — Клапейрона) ${\displaystyle n=N/V=p/(k_{\text{B}}T)}$ и с учётом ${\displaystyle \sigma =\pi (2r)^{2}=\pi d^{2}}$ ((эффективная площадь поперечного сечения) для сферических частиц радиусом ${\displaystyle r}$) можно показать, что длина свободного пробега равна

${\displaystyle \ell ={\frac {k_{\text{B}}T}{{\sqrt {2}}\pi d^{2}p}},}$ где k_B — (постоянная Больцмана).

На практике диаметр молекул газа не определён точно. Фактически, кинетический диаметр молекулы определяется через длину свободного пробега. Как правило, молекулы газа не ведут себя как твердые сферы, а скорее притягиваются друг к другу на больших расстояниях и отталкиваются друг от друга на меньших, что можно описать с помощью (потенциала Леннарда-Джонса). Один из способов описать такие «мягкие» молекулы — использовать параметр σ Леннарда-Джонса в качестве диаметра. Другой способ — предположить, что газ в модели твердых сфер имеет ту же вязкость, что и рассматриваемый реальный газ. Это приводит к средней длине свободного пробега

${\displaystyle \ell ={\frac {\mu }{p}}{\sqrt {\frac {\pi k_{\text{B}}T}{2m}}},}$

где m — масса молекулы, а μ — вязкость. Это выражение можно удобно представить в следующем виде:

${\displaystyle \ell ={\frac {\mu }{p}}{\sqrt {\frac {\pi R_{u}T}{2M}}},}$

где ${\displaystyle R_{u}}$ — универсальная газовая постоянная, а ${\displaystyle M}$ — молекулярная масса. Эти разные определения диаметра молекулы могут привести к немного разным значениям длины свободного пробега.

Формула

${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{{\sqrt {2}}\sigma n}}}$, где ${\displaystyle \sigma }$ — (эффективное сечение) молекулы, равное ${\displaystyle {\pi d^{2}}}$ (${\displaystyle d}$ — э(ффективный диаметр) молекулы), а ${\displaystyle n}$ — (концентрация молекул).

Примеры

В следующей таблице приведены типичные значения длины свободного пробега молекул воздуха при комнатной температуре для различных давлений.

Диапазон давления	Давление, Па	Давление, (мм.рт.ст.)	(Концентрация), молекул / см^3	(Концентрация), молекул / м^3	Длина свободного пробега
Атмосферное давление	101300	759.8	2.7 × 10^19	2.7 × 10^25	68 нм
Низкий вакуум	30000 — 100	220 — 8×10^−1	10^19 — 10^16	10^25 — 10^22	0.1 — 100 мкм
Средний вакуум	100 — 10^−1	8×10^−1 — 8×10^−4	10^16 — 10^13	10^22 — 10^19	0.1 — 100 мм
Высокий вакуум	10^−1 — 10^−5	8×10^−4 — 8×10^−8	10^13 — 10^9	10^19 — 10^15	10 см — 1 км
Сверхвысокий вакуум	10^−5 — 10^−10	8×10^−8 — 8×10^−13	10^9 — 10^4	10^15 — 10^10	1 км — 10^5 км
Экстремальный вакуум	<10^−10	<8×10^−13	<10^4	<10^10	>10^5 км

См. также

• Вакуум
• (Рассеяние частиц)
• Физическая кинетика
• Вязкость

Примечания

1. Marion Brünglinghaus.   (неопр.). Euronuclear.org. Дата обращения: 26 октября 2020. Архивировано из оригинала 5 ноября 2011 года.
2. Алешкевич В.А. Курс общей физики. Молекулярная физика.. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2016. — С. 281—283. — 312 с. — .
3. Chen, Frank F. Introduction to Plasma Physics and Controlled Fusion. — 1st. — Plenum Press, 1984. — P. 156. — .
4. Сивухин Д.В. Общий курс физики // Поглощение света и уширение спектральных линий. — Москва, 2005. — С. 582—583. — 792 с. — ISBN .
5. S. Chapman and T. G. Cowling, The mathematical theory of non-uniform gases от 7 ноября 2020 на Wayback Machine, 3rd. edition, Cambridge University Press, 1990, , p. 88.
6. Mean Free Path, Molecular Collisions  (неопр.). Hyperphysics.phy-astr.gsu.edu. Дата обращения: 8 ноября 2011. 28 октября 2011 года.
7. Vincenti, W. G. and Kruger, C. H. Introduction to physical gas dynamics. — Krieger Publishing Company, 1965. — P. 414.
8. S.G Jennings. The mean free path in air (англ.) // Journal of Aerosol Science. — 1988-04. — Vol. 19, iss. 2. — P. 159–166. — doi:10.1016/0021-8502(88)90219-4. 8 марта 2021 года.

Ссылки

• Длина свободного пробега — статья из (Физической энциклопедии)