Идемпотентность

Идемпоте́нтность («равносильность» от лат. idem «тот же самый» + potens «способный») — свойство объекта или операции при повторном применении операции к объекту давать тот же результат, что и при первом. Термин предложил американский математик (Бенджамин Пирс) (англ. Benjamin Peirce) в статьях 1870-х годов.

Примеры идемпотентных операций:

• сложение с нулём: ${\displaystyle a=a+0=(a+0)+0=((a+0)+0)+0=\dots }$;
• умножение на единицу: ${\displaystyle x=x*1=(x*1)*1=((x*1)*1)*1=\dots }$;
• (модуль) числа: ${\displaystyle |x|=|(|x|)|=|(|(|x|)|)|=\dots }$;
• выбор максимального значения: ${\displaystyle \max(x,y)=\max(\max(x,y),y)=\max(x,\max(x,y))}$;
• вычисление наибольшего общего делителя: ${\displaystyle \operatorname {gcd} (x,y)=\operatorname {gcd} (\operatorname {gcd} (x,y),y)=\operatorname {gcd} (x,\operatorname {gcd} (x,y))}$;
• (сложение по модулю 2) с нулём: ${\displaystyle a=a\oplus 0=(a\oplus 0)\oplus 0=\dots }$;
• нахождение (остатка от деления): ${\displaystyle r=a\mod b=(a\mod b)\mod b=\dots }$;
• возведение в степень единицы: ${\displaystyle a^{1}=(a^{1})^{1}=((a^{1})^{1})^{1}\dots }$.

Элемент

Идемпотентный элемент (идемпотент) в алгебре — элемент (полугруппы), сохраняющийся при умножении самого на себя: ${\displaystyle e^{2}=e}$. Теорема об идемпотенте гласит: в конечной полугруппе есть идемпотент.

Идемпотентный элемент ${\displaystyle e}$ содержит идемпотентный элемент ${\displaystyle f}$ (обозначается ${\displaystyle e\geqslant f}$), если ${\displaystyle ef=e=fe}$. Отношение ${\displaystyle \geqslant }$ является отношением частичного порядка в множестве ${\displaystyle E}$ идемпотентных элементов и называется естественным частичным порядком на множестве ${\displaystyle E}$.

Два идемпотентных элемента ассоциативного кольца (которое будет полугруппой по умножению) ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$ называются ортогональными, если ${\displaystyle uv=0=vu}$.

Операция

См. также: (Идемпотентная матрица)

Идемпотентная бинарная операция в математике — операция, относительно которой всякий элемент обладает идемпотентностью в вышеназванном смысле:

${\displaystyle \forall x:\quad x\cdot x=x}$.

Этим свойством обладают, например, (логическое И) и логическое ИЛИ.

Идемпотентная (унарная операция) — операция, для которой выполняется ${\displaystyle \forall x:f(f(x))=f(x)}$, или ${\displaystyle f\circ f=f}$.

Из линейных операторов в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ идемпотентны только (тождественный оператор), (нулевой оператор) и (параллельная проекция). Поэтому проектор в алгебре — в том числе в (бесконечномерных пространствах) — определяется как ${\displaystyle P\circ P=P}$.

В информатике

Идемпотентная операция в информатике — действие, многократное повторение которого эквивалентно однократному.

Примером такой операции могут служить GET-запросы в протоколе HTTP. По спецификации, сервер должен возвращать идентичные ответы на идентичные GET-запросы (при условии, что ресурс не изменился). Это позволяет корректно кэшировать эти ответы, снижая нагрузку на сеть.

Для (препроцессора) языка Си директива «#include "xxx.h"» является идемпотентной, если в заголовочном файле есть (защита от двойного включения).

Литература

• Peirce B. Linear Associative Algebra. 1870.
• Gunawardena, Jeremy (1998), "An introduction to idempotency", in Gunawardena, Jeremy (ed.), Idempotency. Based on a workshop, Bristol, UK, October 3–7, 1994 (PDF), Cambridge: Cambridge University Press, pp. 1—49, Zbl 0898.16032
• Идемпотентность — статья из Математической энциклопедии. Иванова О. А.