Инъекция (математика)

У этого термина существуют и другие значения, см. (Инъекция (значения)).

Инъе́кция (инъекти́вное отображе́ние) в математике — отображение ${\displaystyle f}$ множества ${\displaystyle X}$ во множество ${\displaystyle Y}$ (${\displaystyle f\colon X\to Y}$), при котором разные элементы множества ${\displaystyle X}$ переводятся в разные элементы множества ${\displaystyle Y}$, то есть если два (образа) при отображении совпадают, то и (прообразы) совпадают: ${\displaystyle f(x_{1})=f(x_{2})\Rightarrow x_{1}=x_{2}}$.

Инъективная функция.

Инъекцию также называют вложением, или одно-однозначным отображением (в отличие от биекции, которая взаимно однозначна). В отличие от сюръекции, про которую говорят, что она отображает одно множество на другое, об инъекции ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ аналогичная фраза формулируется как отображение ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$.

Инъекцию можно также определить как отображение, для которого существует левое обратное, то есть ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ инъективно, если существует ${\displaystyle g\colon Y\to X}$, при котором (композиция) ${\displaystyle g\circ f=\operatorname {id} _{X}}$.

Понятие инъекции (наряду с сюръекцией и биекцией) введено в трудах (Бурбаки) и получило широкое распространение почти во всех разделах математики.

Примеры

• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=\ln x}$ (натуральный логарифм) — инъективно и сюръективно (здесь ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$ — множество ).
• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2}}$ — инъективно (здесь ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$ — множество ).
• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;f(x)=x^{2}}$ — не является инъективным, так как ${\displaystyle f(-2)=f(2)=4}$.

Применение

• Одним из прикладных примеров применения понятия инъекции является организация связи «один к одному» между сущностями в реляционной модели данных.
• Идеальная хеш-функция является инъективной.

Обобщения

• Обобщением понятия инъекции в теории категорий является понятие (мономорфизма). Во многих категориях, хотя и не во всех, эти понятия эквивалентны.

Литература

• (Н. К. Верещагин), (А. Шень). Начала теории множеств // Лекции по математической логике и теории алгоритмов. (недоступная ссылка)
• Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: Лань, 2004. — 336 с.