Кинетическая энергия

Виды энергии:
	Механическая	Потенциальная  Кинетическая
‹♦›	Внутренняя
	Электромагнитная	Электрическая  Магнитная
	Химическая
	Ядерная
${\displaystyle G}$	Гравитационная
${\displaystyle \emptyset }$	Вакуума
Гипотетические:
${\displaystyle }$	Тёмная
См. также: Закон сохранения энергии

Кинети́ческая эне́ргия — скалярная физическая величина, являющаяся мерой движения материальных точек, образующих рассматриваемую механическую систему, и зависящая только от масс и (модулей) скоростей этих точек. Работа всех сил, действующих на материальную точку при её перемещении, идёт на приращение кинетической энергии. Для движения со скоростями значительно меньше скорости света кинетическая энергия записывается как

${\displaystyle E_{\mathrm {kin} }=\sum {{m_{i}v_{i}^{2}} \over 2},}$

где индекс ${\displaystyle \ i}$ нумерует материальные точки. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения. Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её (энергией покоя); таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением. Когда тело не движется, его кинетическая энергия равна нулю. Возможные обозначения кинетической энергии: ${\displaystyle T}$, ${\displaystyle E_{\mathrm {kin} }}$, ${\displaystyle K}$ и другие. В системе СИ она измеряется в джоулях (Дж), в СГС — в (эргах).

Упрощённо, кинетическая энергия — это работа, которую необходимо совершить, чтобы тело массой ${\displaystyle m}$ разогнать из состояния покоя до скорости ${\displaystyle v}$. Либо, наоборот, это работа, которую может совершить, останавливаясь, тело массой ${\displaystyle m}$, обладающее начальной скоростью ${\displaystyle v}$.

История и этимология понятия

Прилагательное «кинетический» происходит от греческого слова κίνησις (kinesis, «движение»). Дихотомия между кинетической энергией и потенциальной энергией восходит к аристотелевским концепциям ^[англ.] .

Принцип классической механики, согласно которому E ∝ mv²/2, был впервые разработан Готфридом Лейбницем и Иоганном Бернулли, описавшими кинетическую энергию как (живую силу) (лат. vis viva). (Вильгельм Гравезанд) из Нидерландов предоставил экспериментальные доказательства этой связи. Сбрасывая грузы с разной высоты на глиняный блок, он определил, что глубина их проникновения пропорциональна квадрату скорости удара. (Эмили дю Шатле) осознала значение данного эксперимента и опубликовала объяснение.

Понятия «кинетическая энергия» и «работа» в их нынешнем научном значении восходят к середине XIX века. В 1829 году (Гаспар-Гюстав Кориолис) опубликовал статью Du Calcul de l’Effet des Machines, в которой излагалась математика того, что по сути является кинетической энергией. Создание и введение в оборот самого термина «кинетическая энергия» приписывают Уильяму Томсону (лорду Кельвину) c 1849—1851 гг.. (Ренкин), который ввел термин «потенциальная энергия» в 1853 году, позже цитировал У. Томсона и (П. Тэйта) с заменой слова «кинетическая» на «фактическая».

Кинетическая энергия в классической механике

Случай одной материальной точки

По определению, кинетической энергией материальной точки массой ${\displaystyle m}$ называется величина

${\displaystyle T={{mv^{2}} \over 2}}$,

при этом предполагается, что скорость точки ${\displaystyle v}$ всегда значительно меньше скорости света. С использованием понятия импульса (${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}$) данное выражение примет вид ${\displaystyle \ T=p^{2}/2m}$.

Если ${\displaystyle {\vec {F}}}$ — равнодействующая всех сил, приложенных к точке, выражение (второго закона Ньютона) запишется как ${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}$. (Скалярно умножив) его на перемещение материальной точки ${\displaystyle {\rm {d}}{\vec {s}}={\vec {v}}{\rm {d}}t}$ и учитывая, что ${\displaystyle {\vec {a}}={\rm {d}}{\vec {v}}/{\rm {d}}t}$, причём ${\displaystyle {\rm {d}}(v^{2})/{\rm {d}}t={\rm {d}}({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})/{\rm {d}}t=2{\vec {v}}\cdot {\rm {d}}{\vec {v}}/{\rm {d}}t}$, получим ${\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}(mv^{2}/2)={\rm {d}}T}$.

Если система замкнута (внешние силы отсутствуют) или равнодействующая всех сил равна нулю, то стоящая под дифференциалом величина ${\displaystyle \ T}$ остаётся постоянной, то есть кинетическая энергия является (интегралом движения).

Случай абсолютно твёрдого тела

При рассмотрении движения абсолютно твёрдого тела его можно представить как совокупность материальных точек. Однако, обычно кинетическую энергию в таком случае записывают, используя (формулу Кёнига), в виде суммы кинетических энергий поступательного движения объекта как целого и (вращательного движения):

${\displaystyle T={\frac {Mv^{2}}{2}}+{\frac {I\omega ^{2}}{2}}.}$

Здесь ${\displaystyle \ M}$ — масса тела, ${\displaystyle \ v}$ — скорость центра масс, ${\displaystyle {\vec {\omega }}}$ и ${\displaystyle I}$ — угловая скорость тела и его (момент инерции) относительно , проходящей через центр масс.

Кинетическая энергия в гидродинамике

В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа ${\displaystyle \rho ={\rm {d}}M/{\rm {d}}V}$. Тогда кинетическая энергия, приходящаяся на единицу объёма, двигающегося со скоростью ${\displaystyle {\vec {v}}}$, то есть (плотность) кинетической энергии ${\displaystyle w_{T}={\rm {d}}T/{\rm {d}}V}$ (Дж/м³), запишется:

${\displaystyle w_{T}=\rho {\frac {v_{\alpha }v_{\alpha }}{2}},}$

где по повторяющемуся индексу ${\displaystyle {\alpha }=x,y,z}$, означающему соответствующую проекцию скорости, предполагается суммирование.

Поскольку в турбулентном потоке жидкости или газа характеристики состояния вещества (в том числе, плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока, в соответствии с (методом О. Рейнольдса), получаются путём осреднения (уравнений Навье-Стокса). Если, в согласии с методом Рейнольдса, представить ${\displaystyle \ \rho ={\overline {\rho }}+\rho '}$, ${\displaystyle v_{\alpha }={\overline {v_{\alpha }}}+v'_{\alpha }}$, где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то плотность кинетической энергии приобретёт вид:

${\displaystyle {\overline {w_{T}}}={\frac {1}{2}}{\overline {\rho v_{\alpha }v_{\alpha }}}=E_{s}+E_{st}+E_{t},}$

где ${\displaystyle E_{s}={\overline {\rho }}\,{\overline {v_{\alpha }}}\,{\overline {v_{\alpha }}}/2}$ — плотность кинетической энергии, связанной с упорядоченным движением жидкости или газа, ${\displaystyle E_{t}={\overline {\rho }}\,{\overline {v'_{\alpha }\,v'_{\alpha }}}/2+{\overline {\rho 'v'_{\alpha }v'_{\alpha }}}/2}$ — плотность кинетической энергии, связанной с неупорядоченным движением («плотность кинетической энергии турбулентности», часто называемой просто «энергией турбулентности»), а ${\displaystyle E_{st}=S_{\alpha }{\overline {v_{\alpha }}}}$ — плотность кинетической энергии, связанная с турбулентным потоком вещества (${\displaystyle S_{\alpha }={\overline {\rho 'v'_{\alpha }}}}$ — плотность флуктуационного потока массы, или «плотность турбулентного импульса»). Эти формы кинетической энергии жидкости обладают разными трансформационными свойствами при (преобразовании Галилея): кинетическая энергия упорядоченного движения ${\displaystyle E_{s}}$ зависит от выбора системы координат, в то время как кинетическая энергия турбулентности ${\displaystyle E_{t}}$ от него не зависит. В этом смысле кинетическая энергия турбулентности дополняет понятие внутренней энергии.

Подразделение кинетической энергии на упорядоченную и неупорядоченную (флуктуационную) части зависит от выбора масштаба осреднения по объёму или по времени. Так, например, крупные атмосферные вихри циклоны и антициклоны, порождающие определённую погоду в месте наблюдения, рассматриваются в метеорологии как упорядоченное движение атмосферы, в то время как с точки зрения (общей циркуляции атмосферы) и теории климата это — просто большие вихри, относимые к неупорядоченному движению атмосферы.

Кинетическая энергия в квантовой механике

В квантовой механике кинетическая энергия представляет собой (оператор), записывающийся, по аналогии с классической записью, через импульс, который в этом случае также является оператором (${\displaystyle {\hat {p}}=-j\hbar \nabla }$, ${\displaystyle \ j}$ — (мнимая единица)):

${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta }$

где ${\displaystyle \hbar }$ — (редуцированная постоянная Планка), ${\displaystyle \nabla }$ — оператор (набла), ${\displaystyle \Delta }$ — оператор Лапласа. Кинетическая энергия в таком виде входит в важнейшее уравнение квантовой механики — (уравнение Шрёдингера).

Кинетическая энергия в (релятивистской механике)

Зависимости кинетической энергии от скорости в классическом и релятивистском случаях для массы в 1 кг

Если в задаче допускается движение со скоростями, близкими к скорости света, кинетическая энергия материальной точки определяется как:

${\displaystyle T={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-mc^{2},}$

где ${\displaystyle \ m}$ — масса материальной точки,

${\displaystyle \ v}$ — скорость движения в выбранной инерциальной системе отсчёта,

${\displaystyle \ c}$ — скорость света в вакууме (${\displaystyle mc^{2}}$ — (энергия покоя)).

Кинетическая энергия в этой формуле может быть разложена в (ряд Маклорена) по степеням ${\displaystyle v/c}$:

${\displaystyle T=mc^{2}\left({\frac {1}{2}}(v/c)^{2}+{\frac {3}{8}}(v/c)^{4}+\cdots \right).}$

При скоростях много меньших скорости света (${\displaystyle v\ll c}$) пренебрегаем членами разложения с высшими степенями и выражение для ${\displaystyle \ T}$ переходит в классическую формулу ${\displaystyle \ T\approx 1/2\cdot mv^{2}}$.

Как и в классическом случае, имеет место соотношение ${\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}T}$, получаемое посредством умножения на ${\displaystyle {\rm {d}}{\vec {s}}={\vec {v}}{\rm {d}}t}$ выражения второго закона Ньютона (в виде ${\displaystyle \ {\vec {F}}=m\cdot {\rm {d}}({\vec {v}}/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}})/{\rm {d}}t}$).

Релятивистское соотношение между кинетической энергией и импульсом p записывается в виде

${\displaystyle T={\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}-mc^{2}=mc^{2}\left({\sqrt {{\frac {p^{2}}{m^{2}c^{2}}}+1}}-1\right).}$

Разложив это выражение по степеням ${\displaystyle p^{2}/(m^{2}c^{2}),}$ получаем

${\displaystyle T=mc^{2}\left({\frac {p^{2}}{2m^{2}c^{2}}}-{\frac {p^{4}}{8m^{4}c^{4}}}+{\frac {3p^{6}}{48m^{6}c^{6}}}-\cdots \right)={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {p^{4}}{8m^{3}c^{2}}}+{\frac {3p^{6}}{48m^{5}c^{4}}}-\cdots ,}$

первый член которого равен нерелятивистскому выражению кинетической энергии через импульс, а последующие члены — релятивистские поправки к этому выражению, которые малы при ${\displaystyle p\ll mc.}$

Свойства кинетической энергии

• Аддитивность. Это свойство означает, что кинетическая энергия механической системы, состоящей из материальных точек, равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, входящих в систему.
• Инвариантность по отношению к повороту системы отсчёта. Кинетическая энергия не зависит от положения точки и направления её скорости, а зависит лишь от модуля скорости или от квадрата её скорости.
• Неинвариантность по отношению к смене системы отсчёта в общем случае. Это ясно из определения, так как скорость претерпевает изменение при переходе от одной системы отсчёта к другой.
• Сохранение. Кинетическая энергия не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям Галилея. Свойства сохранения кинетической энергии и второго закона Ньютона достаточно, чтобы вывести математическую формулу кинетической энергии.

Физический смысл кинетической энергии

Работа всех сил, действующих на материальную точку при её перемещении, идёт на приращение кинетической энергии:

${\displaystyle \ A_{12}=T_{2}-T_{1}.}$

Это равенство актуально как для классической, так и для релятивистской механики (получается интегрированием выражения ${\displaystyle \ {\vec {F}}{\rm {d}}{\vec {s}}={\rm {d}}T}$ между состояниями 1 и 2).

Соотношение кинетической и внутренней энергии

Кинетическая энергия зависит от того, с каких позиций рассматривается система. Если рассматривать макроскопический объект (например, твёрдое тело видимых размеров) как единое целое, можно говорить о такой форме энергии, как внутренняя энергия. Кинетическая энергия в этом случае появляется лишь тогда, когда тело движется как целое.

То же тело, рассматриваемое с микроскопической точки зрения, состоит из атомов и молекул, и внутренняя энергия обусловлена движением атомов и молекул и рассматривается как следствие теплового движения этих частиц, а абсолютная температура тела прямо пропорциональна средней кинетической энергии такого движения атомов и молекул. Коэффициент пропорциональности — (постоянная Больцмана).

См. также

• (Теорема о кинетической энергии системы)
• Потенциальная энергия
• Закон сохранения энергии
• Хаос
• Энтальпия
• (Негэнтропия)
• Термодинамика
• (Парадокс кинетической энергии)

Примечания

1. Айзерман, 1980, с. 49.
2. (Сивухин Д. В.) § 22. Работа и кинетическая энергия. // Общий курс физики. — М.: Наука, 1979. — Т. I. Механика. — С. 131. — 520 с.
3. Тарг С. М. Кинетическая энергия // (Физическая энциклопедия) : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1990. — Т. 2: Добротность — Магнитооптика. — С. 360. — 704 с. — 100 000 экз. — .
4. Батыгин В. В., Топтыгин И. Н. 3.2. Кинематика релятивистских частиц // Современная электродинамика, часть 1. Микроскопическая теория. — Москва, Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. — С. 238. — 736 с. — 1000 экз. — .
5. Brenner, Joseph. Logic in Reality. — illustrated. — Springer Science & Business Media, 2008. — P. 93. — . от 25 января 2020 на Wayback Machine Extract of page 93 4 августа 2020 года.
6. (Мах Э.)  Механика. Историко-критический очерк её развития. — Ижевск: «РХД», 2000. — С. 252. — 456 с. — .
7. Judith P. Zinsser. Emilie Du Châtelet : daring genius of the Enlightenment. — New York: Penguin Books, 2007. — viii, 376 pages, 16 unnumbered pages of plates с. — , 978-0-14-311268-6.
8. Crosbie Smith. Energy and empire : a biographical study of Lord Kelvin. — Cambridge [Cambridgeshire]: Cambridge University Press, 1989. — xxvi, 866 pages с. — , 978-0-521-26173-9. 25 января 2022 года.
9. John Theodore Merz. A history of European thought in the nineteenth century. — Gloucester, Mass.: Peter Smith, 1976. — 4 volumes с. — , 978-0-8446-2579-9.
10. William John Macquorn Rankine. XVIII. On the general law of the transformation of energy // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. — 1853-02. — Т. 5, вып. 30. — С. 106–117. — ISSN 1941-5990 1941-5982, 1941-5990. — doi:10.1080/14786445308647205.
11. W.J. Macquorn Rankine. XIII. On the phrase “Potential energy,” and on the definitions of physical quantities // The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science. — 1867-02. — Т. 33, вып. 221. — С. 88–92. — ISSN 1941-5990 1941-5982, 1941-5990. — doi:10.1080/14786446708639753.
12. Голубева О. В. Теоретическая механика. — М.: «Высшая школа», 1968. — С. 243—245. 23 августа 2017 года.
13. (Монин А. С.), (Яглом А. М.) Статистическая гидромеханика. Часть 1. — М.: Наука, 1965. — 639 с.
14. (Блохинцев Д. И.) Основы квантовой механики от 15 февраля 2022 на Wayback Machine, 5-е изд. Наука, 1976. — 664 с., см. § 26.
15. Айзерман, 1980, с. 54.
16. Сорокин В. С. «Закон сохранения движения и мера движения в физике» от 1 января 2015 на Wayback Machine // УФН, 59, с. 325—362, (1956)

Литература

• (Айзерман М. А.) Классическая механика. — М.: Наука, 1980. — 368 с.
• (Фриш С. Э.) Курс общей физики. В 3-х тт. Т.1. Физические основы механики. Молекулярная физика. Колебания и волны. 13-е изд. — СПб.: Лань, 2010. — 480 с. — .
• (Сивухин Д. В.) Общий курс физики. Т. 1. Механика. 5-е изд. — М.: (Физматлит), 2006. — 560 с. — .