Количество информации

Количество информации в теории информации – это количество информации в одном случайном объекте относительно другого.

Пусть ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ – случайные величины, заданные на соответствующих множествах ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$. Тогда количество информации ${\displaystyle x}$ относительно ${\displaystyle y}$ есть разность априорной и апостериорной энтропий:

${\displaystyle I(x,y)=H(x)-H(x|y)}$,

где

— энтропия, а

${\displaystyle H(x|y)=-\sum _{y\in Y}p(y)\sum _{x\in X}p(x|y)\log _{2}p(x|y)}$

— условная энтропия, в теории передачи информации она характеризует шум в канале.

Свойства энтропии

Для энтропии справедливы свойства:

${\displaystyle 0\leqslant H(x)\leqslant \ln(m)}$,

где ${\displaystyle m}$ количество элементов множества ${\displaystyle X}$.

${\displaystyle H(x)=0}$, если один из элементов множества реализуется с вероятностью 1, а остальные, соответственно, 0, в силу того, что ${\displaystyle 1\ln 1=0}$ и ${\displaystyle 0\ln 0=0}$.

Максимум значения энтропии ${\displaystyle H(x)=\ln(m)}$ достигается, когда все ${\displaystyle p(x)=1/m}$, т.е. все исходы равновероятны.

Для условной энтропии справедливы свойства:

${\displaystyle 0\leqslant H(x|y)\leqslant H(x)}$,

При этом, ${\displaystyle H(x|y)=0}$, если отображение ${\displaystyle Y}$ в ${\displaystyle X}$ однозначное, т.е. ${\displaystyle \forall y\exists x\colon p(x|y)=1}$.

Максимум значения условной энтропии ${\displaystyle H(x|y)=H(x)}$ достигается, когда ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ - независимые случайные величины.

Свойства количества информации

Для количества информации справедливы свойства:

${\displaystyle I(x,y)=I(y,x),}$ как следствие (теоремы Байеса).

${\displaystyle I(x,y)\geqslant 0,}$

${\displaystyle I(x,y)=0,}$ если ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ – независимые случайные величины.

${\displaystyle I(x,x)=H(x).}$

Последнее свойство показывает, что количество информации совпадает с информационной энтропией, если компонента потери информации (шум) равна нулю.

Литература

• (Яглом А. М.), (Яглом И. М.) Вероятность и информация. — М., 1973.