Кортеж (математика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Кортеж (значения).

Кортеж — упорядоченный набор фиксированной длины.

В математике

Пусть даны множества ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}}$, не обязательно различные.

Тогда корте́ж длины n, упорядоченный набор длины n, упорядоченный n-набор или n-ка — упорядоченная последовательность из n элементов ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},}$ где ${\displaystyle x_{i}\in A_{i}}$ для ${\displaystyle 1\leqslant i\leqslant n.}$ Кортеж обозначается перечислением координат в угловых или круглых скобках:

${\displaystyle \langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\rangle }$

или

${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}).}$

Элемент ${\displaystyle x_{i}}$ называется i-й координатой (проекцией, компонентой) кортежа ${\displaystyle \langle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\rangle .}$

Число n называют длиной или размерностью кортежа.

Два кортежа равны, если равны их длины и соответствующие элементы:

${\displaystyle \langle a_{1},\ldots ,a_{n}\rangle =\langle b_{1},\ldots ,b_{n}\rangle ,}$ если ${\displaystyle a_{i}=b_{i},i={\overline {1,n}}.}$

Пример кортежа — (арифметический вектор).

Декартово произведение n множеств — множество всех кортежей длины n, координаты которых взяты из этих множеств:

${\displaystyle A_{1}\times \ldots \times A_{n}=\{\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle \mid x_{i}\in A_{i},i={\overline {1,n}}\}.}$

Кортежи длины 2, 3, 4, 5, … также носят названия «(упорядоченная пара)», «упорядоченная тройка», «упорядоченная четвёрка», «упорядоченная пятёрка» и т. д.

Определения в теории множеств

В рамках теории множеств кортежи можно индуктивно поставить в соответствие множествам, например, следующим образом:

• ${\displaystyle \langle \rangle \rightleftharpoons \emptyset ,}$
• ${\displaystyle \langle x_{1}\rangle \rightleftharpoons x_{1},}$
• ${\displaystyle \langle x_{1},x_{2}\rangle \rightleftharpoons \{\{x_{1}\},\{x_{1},x_{2}\}\},}$
• ${\displaystyle \langle x_{1},x_{2},x_{3}\rangle \rightleftharpoons \langle \langle x_{1},x_{2}\rangle ,x_{3}\rangle ,}$
• ${\displaystyle \langle x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\rangle \rightleftharpoons \langle \langle x_{1},x_{2},x_{3}\rangle ,x_{4}\rangle ,\ldots }$
• ${\displaystyle \langle x_{1},\ldots ,x_{n}\rangle \rightleftharpoons \langle \langle x_{1},\ldots ,x_{n-1}\rangle ,x_{n}\rangle .}$

Определение других объектов через кортежи

Многие математические объекты формально определяются как кортежи. Например, (ориентированный граф) определяется как пара ${\displaystyle \langle V,E\rangle ,}$ где V — это множество вершин, а E — подмножество (пар) в ${\displaystyle V\times V,}$ соответствующих дугам графа. Точка в n-мерном пространстве действительных чисел определяется как кортеж длины n, составленный из элементов множества действительных чисел.

Ориентированный (мультиграф) со множеством вершин V, множеством дуг E и отношением инцидентности ${\displaystyle P\subseteq V\times E\times V}$ может быть определён как упорядоченная тройка ${\displaystyle \langle V,E,P\rangle ,}$ причём ${\displaystyle \langle a,e,b\rangle \in P}$ (тогда и только тогда), когда дуга e выходит из вершины a и заходит в вершину b.

В программировании

См. также: (Тип-произведение)

В некоторых языках программирования, например, Python или (ML), кортеж как тип данных встроен в язык. Пример использования кортежа в языке Python:

a = (1, 3.14, 'cat') print(a[0]) # Напечатать первый элемент кортежа 

В языках программирования со (статической типизацией) кортеж отличается от списка тем, что элементы кортежа могут принадлежать разным типам и набор таких типов заранее определён типом кортежа, а значит, и размер кортежа также определён. С другой стороны, коллекции (списки, массивы) имеют ограничение по типу хранимых элементов, но не имеют ограничения на длину. Так, например, в языке (Rust) функция может вернуть несколько значений с помощью упаковки в кортеж:

fn div_with_remainder(a: i32, b: i32) -> (i32, i32, String) {  let tmp = (a/b, a%b);  (tmp.0, tmp.1, format!("{} + {}", tmp.0, tmp.1)) } let (res, rem, repr) = div_with_remainder(5,2); 

В функциональных языках (некаррированные) функции нескольких аргументов принимают параметры в виде одного аргумента, являющегося кортежем.

В языке поддержка кортежей реализована как шаблон класса std::tuple (начиная с ) и в библиотеке (Boost Tuple Library).

Кортеж является стандартным типом в платформе .NET начиная с версии 4.0.

В базах данных

В реляционных базах данных кортеж — это элемент отношения. Для N-арного отношения кортеж представляет собой упорядоченный набор из N значений, по одному значению для каждого атрибута отношения, то есть запись (строку) таблицы, если использовать наиболее популярное представление (графическую/физическую интерпретацию) отношения как таблицы.

Примечания

1. Судоплатов, Овчинникова, 2002, с. 15.
2. Белоусов, Ткачев, 2004, с. 39.
3. Англо-русский словарь математических терминов, 1994.
4. Виленкин, 1975, с. 75.
5. Белоусов, Ткачев, 2004, с. 39-40.
6. Кормен, Лейзерсон, Ривест, Штайн, 2005, с. 1206.
7. Hrbacek, Jech, 1999, p. 17-18.
8. Кормен, Лейзерсон, Ривест, Штайн, 2005, с. 1206-1207.
9. Кормен, Лейзерсон, Ривест, Штайн, 2005, с. 1213.
10. Судоплатов, Овчинникова, 2002, с. 109.
11. <tuple>  (неопр.). C++ Reference. Дата обращения: 11 октября 2013. 14 октября 2013 года.
12. std::tuple  (неопр.). cppreference.com. Дата обращения: 12 октября 2013. 15 октября 2013 года.
13. The Boost Tuple Library — 1.54.0  (неопр.). Boost C++ Libraries. Дата обращения: 12 октября 2013. 14 октября 2013 года.
14. Tuple — класс  (неопр.). (MSDN). Дата обращения: 7 марта 2011. 24 сентября 2010 года.

Литература

• Судоплатов С. В., Овчинникова Е. В. Элементы дискретной математики: Учебник. — М.: ИНФРА-М, Новосибирск: Издательство НГТУ, 2002. — 280 с. — (Серия «Высшее образование»). (ИНФРА-М), (НГТУ)
• Белоусов А. И., Ткачев С. Б. Дискретная математика: Учебник для вузов / Под редакцией В. С. Зарубина, А. П. Крищенко. — 3-е издание, стереотипное. — М.: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2004. — 744 с. — .
• Кормен, Томас Х., Лейзерсон, Чарльз И., Ривест, Рональд Л., Штайн, Клиффорд. Алгоритмы: построение и анализ = Introduction to Algorithms. — 2-е издание. — М.: Издательский дом «Вильямс», 2005. — 1296 с. — .
• Н. Я. Виленкин. Популярная комбинаторика. — М.: Наука, 1975.
• Англо-русский словарь математических терминов / Под ред. П. С. Александрова. — 2-е, исправл. и дополн. изд.. — М.: Мир, 1994. — 416 с. — .
• Karel Hrbacek, Thomas Jech. Introduction to Set Theory. — Third edition, revised and expanded. — 1999. — .

Ссылки

• В глубь языка Python: 1.9. Кортежи