Математическая статистика

Математи́ческая стати́стика — наука, разрабатывающая математические методы систематизации и использования статистических данных для научных и практических выводов.

Во многих своих разделах математическая статистика опирается на теорию вероятностей, дающую возможность оценить надёжность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (например, оценить необходимый объём выборки для получения результатов требуемой точности при выборочном обследовании).

Предмет и методы

Математическая статистика — раздел математики, разрабатывающий методы регистрации, описания и анализа данных наблюдений и экспериментов с целью построения вероятностных моделей массовых случайных явлений. В зависимости от математической природы конкретных результатов наблюдений, математическая статистика делится на статистику чисел, многомерный статистический анализ, анализ функций (процессов) и (временных рядов), статистику объектов нечисловой природы.

Выделяют описательную статистику, (теорию оценивания) и (теорию проверки гипотез). Описательная статистика есть совокупность эмпирических методов, используемых для визуализации и интерпретации данных (расчет выборочных характеристик, таблицы, диаграммы, графики и т. д.), как правило, не требующих предположений о вероятностной природе данных. Некоторые методы описательной статистики предполагают использование возможностей современных компьютеров. К ним относятся, в частности, (кластерный анализ), нацеленный на выделение групп объектов, похожих друг на друга, и (многомерное шкалирование), позволяющее наглядно представить объекты на плоскости.

Методы оценивания и проверки гипотез опираются на вероятностные модели происхождения данных. Эти модели делятся на параметрические и непараметрические. В параметрических моделях предполагается, что характеристики изучаемых объектов описываются посредством распределений, зависящих от (одного или нескольких) числовых параметров. Непараметрические модели не связаны со спецификацией параметрического семейства для распределения изучаемых характеристик. В математической статистике оценивают параметры и функции от них, представляющие важные характеристики распределений (например, математическое ожидание, медиана, (стандартное отклонение), квантили и др.), плотности и функции распределения и пр. Используют точечные и интервальные оценки.

Большой раздел современной математической статистики — (статистический последовательный анализ), фундаментальный вклад в создание и развитие которого внёс А. Вальд во время Второй мировой войны. В отличие от традиционных (непоследовательных) методов статистического анализа, основанных на случайной выборке фиксированного объема, в последовательном анализе допускается формирование массива наблюдений по одному (или, более общим образом, группами), при этом решение о проведении следующего наблюдения (группы наблюдений) принимается на основе уже накопленного массива наблюдений. Ввиду этого, теория последовательного статистического анализа тесно связана с теорией (оптимальной остановки).

В математической статистике есть общая теория проверки гипотез и большое число методов, посвящённых проверке конкретных гипотез. Рассматривают гипотезы о значениях параметров и характеристик, о проверке однородности (то есть о совпадении характеристик или функций распределения в двух выборках), о согласии эмпирической функции распределения с заданной функцией распределения или с параметрическим семейством таких функций, о симметрии распределения и др.

Большое значение имеет раздел математической статистики, связанный с проведением (выборочных обследований), со свойствами различных схем организации выборок и построением адекватных методов оценивания и проверки гипотез.

Задачи восстановления зависимостей активно изучаются более 200 лет, с момента разработки метода наименьших квадратов К. Гауссом, (А.-М. Лежандром) и Р. Эдрейном на рубеже XVIII и XIX веков.

Разработка методов аппроксимации данных и сокращения размерности описания была начата более 100 лет назад, когда (Карл Пирсон) создал (метод главных компонент). Позднее были разработаны (факторный анализ) и многочисленные нелинейные обобщения.

Различные методы построения (кластер-анализ), анализа и использования (дискриминантный анализ) классификаций (типологий) именуют также методами распознавания образов (с учителем и без), автоматической классификации и др.

В настоящее время компьютеры играют большую роль в математической статистике. Они используются как для расчётов, так и для имитационного моделирования (в частности, в методах размножения выборок и при изучении пригодности асимптотических результатов).

См. также

• (Прикладная статистика)
• Статистические методы
• (Статистическая оценка)
• Теория вероятностей
• Теория принятия решений
• (Факторный анализ)
• Эконометрика

Примечания

1. Вероятностные разделы математики / Под ред. Ю. Д. Максимова. — СПб.: «Иван Фёдоров», 2001. — С. 400. — 592 с. — .
2. Многомерный статистический анализ / (С. А. Айвазян) // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
3. Харман Г., Современный факторный анализ. — М.: Статистика, 1972. — 486 с.
4. Gorban A. N., Kegl B., Wunsch D., Zinovyev A. Y. (Eds.), Principal Manifolds for Data Visualisation and Dimension Reduction от 6 марта 2019 на Wayback Machine, Series: Lecture Notes in Computational Science and Engineering 58, Springer, Berlin — Heidelberg — New York, 2007, XXIV, 340 p. 82 illus. (а также онлайн от 16 марта 2019 на Wayback Machine).

Литература

• Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия / Гл. ред. (Ю. В. Прохоров). — М.: Изд-во «Большая Российская Энциклопедия», 1999.
• Вальд А. Последовательный анализ, пер. с англ. — М.: (Физматгиз), 1960.
• Математическая статистика / Ю. В. Прохоров // Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов. — М. : Большая российская энциклопедия, 2004—2017.
• (Натан А. А.), Горбачёв О. Г., (Гуз С. А.) Математическая статистика. : учеб. пособие. — М.: МЗ Пресс — МФТИ, 2004. .
• (Самыловский А. И.) Математические модели и методы для социологов : учебник для студентов ВУЗов … по спец. 040200 — «Социология». — Московский гос. ун-т им. М. В. Ломоносова, Социологический фак. — М. : Кн. Дом Ун-т, 2009. — 21 см. Кн. 2: Математическая статистика. — 153 с.;
• (Ширяев А. Н.) Статистический последовательный анализ. Оптимальные правила остановки — М.: Наука, 1976.
• Остапенко Р. И. Математические основы психологии : учебно-методическое пособие для студентов и аспирантов психологических и педагогических специальностей вузов. — Воронеж: ВГПУ, 2010. — 76 с.: ил. —
• Орлов А.И. Искусственный интеллект: нечисловая статистика : учебник. — М.: Ай Пи Ар Медиа, 2022. — 446 c. — [1]
• Орлов А.И. Прикладной статистический анализ : учебник. — М.: Ай Пи Ар Медиа, 2022. — 812 c. — [2]

Ссылки