Ориентированный граф

Ориентированный граф (кратко орграф) — (мульти) граф, рёбрам которого присвоено направление. Направленные рёбра именуются также дугами, а в некоторых источниках и просто рёбрами. Граф, ни одному ребру которого не присвоено направление, называется неориентированным графом или неорграфом.

Основные понятия

Формально, орграф ${\displaystyle D=(V,E)}$ состоит из множества ${\displaystyle V}$, элементы которого называются вершинами, и множества ${\displaystyle E}$ упорядоченных пар вершин ${\displaystyle u,v\in V}$, элементы которого называются дугами.

Дуга ${\displaystyle (u,v)}$ инцидентна вершинам ${\displaystyle u}$ и ${\displaystyle v}$. При этом говорят, что ${\displaystyle u}$ — начальная вершина дуги, а ${\displaystyle v}$ — конечная вершина.

Орграф, полученный из ориентацией рёбер, называется направленным. В отличие от последнего, в произвольном простом орграфе две вершины могут соединяться двумя разнонаправленными дугами.

Направленный полный граф называется турниром.

Связность

Маршрутом в орграфе называют чередующуюся последовательность вершин и дуг, вида ${\displaystyle v_{0}\{v_{0},v_{1}\}v_{1}\{v_{1},v_{2}\}v_{2}...v_{n}}$ (вершины могут повторяться). Длина маршрута — количество дуг в нём.

Путь есть маршрут в орграфе без повторяющихся дуг, простой путь — без повторяющихся вершин. Если существует путь из одной вершины в другую, то вторая вершина достижима из первой.

Контур есть замкнутый путь.

Для полумаршрута снимается ограничение на направление дуг, аналогично определяются полупуть и полуконтур.

Орграф сильно связный, или просто сильный, если все его вершины взаимно достижимы; односторонне связный, или просто односторонний, если для любых двух вершин, по крайней мере, одна достижима из другой; слабо связный, или просто слабый, если при игнорировании направления дуг получается связный (мульти)граф;

Максимальный сильный подграф называется сильной компонентой; односторонняя компонента и слабая компонента определяются аналогично.

Конденсацией орграфа ${\displaystyle D}$ называют орграф ${\displaystyle D^{\star }}$, вершинами которого служат сильные компоненты ${\displaystyle D}$, а дуга в ${\displaystyle D^{\star }}$ показывает наличие хотя бы одной дуги между вершинами, входящими в соответствующие компоненты.

Дополнительные определения

(Направленный ациклический граф) или комок есть бесконтурный орграф.

Ориентированный граф, полученный из заданного сменой направления рёбер на противоположное, называется обратным.

Изображение и свойства всех орграфов с тремя узлами

Легенда: С — слабый, ОС — односторонний, СС — сильный, Н — является направленным графом, Г — является гамаком (ациклический), Т — является турниром

0 дуг	1 дуга	2 дуги	3 дуги	4 дуги	5 дуг	6 дуг
пустой, Н, Г	Н, Г		ОС	CC	CC	полный, CC
		ОС, Н, Г	CC, Н, Т	CC
		C, Н, Г	ОС, Н, Г, Т	ОС
		C, Н, Г	ОС	ОС

Применение орграфов

Орграфы широко применяются в программировании как способ описания систем со сложными связями. К примеру, одна из основных структур, используемых при разработке компиляторов и вообще для представления компьютерных программ — граф потоков данных.

Бинарные отношения

орграф отношения делимости

Бинарное отношение над конечным носителем может быть представлено в виде орграфа. Простым орграфом представимы антирефлексивные отношения, в общем случае требуется орграф с петлями. Если отношение симметрично, то его можно представить неориентированным графом, а если антисимметрично, то направленным графом.

Прочее

(Алгоритм Суурбалле) — алгоритм нахождения двух непересекающихся (не имеющих общих рёбер) путей в ориентированном графе с неотрицательными весами, так что оба пути связывают ту же самую пару вершин и имеют минимальную общую длину.

Литература

• Харари Ф. Теория графов. — М.: УРСС, 2003. — 300 с. — .
• Оре, Ойстин. Теория графов. — М.: УРСС, 2008. — 352 с. — .
• Альфред В. Ахо, Моника С. Лам, Рави Сети, Джеффри Д. Ульман. (Компиляторы: принципы, технологии и инструменты), 2 издание = Compilers: Principles, Techniques, and Tools. — 2 изд. — М.: , 2008. — .