Параллелограмм

Параллелогра́мм (др.-греч. παραλληλόγραμμον ← παράλληλος — параллельный + γραμμή — линия) — четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, то есть лежат на параллельных прямых. Существуют другие варианты определения^[⇨].

Параллелограмм

Частными случаями параллелограмма являются прямоугольник (все углы прямые), ромб (все стороны равны) и квадрат (прямоугольник и ромб одновременно). Параллелограмм, не являющийся прямоугольником или ромбом называют ромбоидом (при этом в литературе первой половины XX века термином «ромбоид» иногда именовался дельтоид).

Свойства

Противоположные стороны параллелограмма равны, а диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Сумма углов у основания параллелограмма равна 180°

Противолежащие стороны параллелограмма и противолежащие углы параллелограмма — равны. Сумма углов, прилежащих к одной (любой) стороне, равна 180° (по свойству параллельных прямых).

Диагонали параллелограмма пересекаются, и точка пересечения делит их пополам. Точка пересечения диагоналей является (центром симметрии) параллелограмма. Параллелограмм диагональю делится на два (равных) треугольника. (Средние линии) параллелограмма пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам.

(Тождество параллелограмма): сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон:

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=2(a^{2}+b^{2})}$,

где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — длины смежных сторон, а ${\displaystyle d_{1}}$ и ${\displaystyle d_{2}}$ — длины диагоналей. Тождество параллелограмма есть простое следствие (формулы Эйлера) для произвольного (четырехугольника): учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей. У параллелограмма противоположные стороны равны, а расстояние между серединами диагоналей равно нулю.

(Аффинное преобразование) всегда переводит параллелограмм в параллелограмм. Для любого параллелограмма существует аффинное преобразование, которое отображает его в квадрат.

Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырёхугольника, является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника ().

Признаки параллелограмма

Четырёхугольник ${\displaystyle \square ABCD}$ является параллелограммом, если выполняется одно из следующих условий (в этом случае выполняются и все остальные):

• у четырёхугольника без самопересечений две противоположные стороны одновременно равны и параллельны: ${\displaystyle AB=CD}$ и ${\displaystyle AB\parallel CD}$;
• все противоположные углы попарно равны: ${\displaystyle \angle A=\angle C}$ и ${\displaystyle \angle B=\angle D}$;
• у четырёхугольника без самопересечений все противоположные стороны попарно равны: ${\displaystyle AB=CD}$ и ${\displaystyle BC=DA}$;
• все противоположные стороны попарно параллельны: ${\displaystyle AB\parallel CD}$ и ${\displaystyle BC\parallel DA}$;
• диагонали делятся в точке их пересечения пополам: ${\displaystyle AO=OC}$ и ${\displaystyle BO=OD}$, где ${\displaystyle O}$ — точка пересечения диагоналей;
• сумма расстояний между серединами противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равна его полупериметру;
• сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон выпуклого четырёхугольника: ${\displaystyle AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}}$.

Площадь параллелограмма

Площадь параллелограмма, выражение через высоту

Площадь параллелограмма равна произведению его основания на (высоту): ${\displaystyle S=bh}$, где ${\displaystyle b}$ — сторона, ${\displaystyle h}$ — высота, проведённая к этой стороне. Также площадь параллелограмма может быть вычислена как произведение длин его смежных сторон ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ и (синуса) угла ${\displaystyle \alpha }$ между ними: ${\displaystyle S=ab\sin \alpha }$.

Ещё один способ определения площади параллелограмма — через длины смежных сторон ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ и длину любой из диагоналей ${\displaystyle d}$ по (формуле Герона) как сумма площадей двух равных примыкающих треугольников:

${\displaystyle S=2\cdot {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-d)}}}$,

где ${\displaystyle p=(a+b+d)/2}$.

Примечания

1. Справочник по элементарной математике, 2006, с. 332—333.
2. Геометрия, 8 класс. Урок 14. Формула Герона

Литература

• (Выгодский М. Я.) Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — 509 с. — .

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Parallelogram (англ.) на сайте Wolfram (MathWorld).