Расширенная числовая прямая

Эта статья о числовой прямой, расширенной двумя знаковыми бесконечностями; о числовой прямой, расширенной одной беззнаковой бесконечностью, см. (Проективно расширенная числовая прямая).

Расширенная (аффинно расширенная) числовая прямая — множество вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, дополненное двумя бесконечно удалёнными точками: ${\displaystyle +\infty }$ (положительная бесконечность) и ${\displaystyle -\infty }$ (отрицательная бесконечность), то есть ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{+\infty ;-\infty \}=[-\infty ;+\infty ]}$. Следует понимать, что ${\displaystyle -\infty ,+\infty }$ не являются числами и имеют немного иную природу, но для них, как и для вещественных чисел, тоже определено (отношение порядка). Также сами элементы ${\displaystyle -\infty }$ и ${\displaystyle +\infty }$ считаются неравными друг другу.

При этом для любого вещественного числа ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ по определению полагают выполненными неравенства ${\displaystyle -\infty <x<+\infty }$. В некоторых дидактических материалах термин «расширенная числовая прямая» используется по отношению к (числовой прямой, расширенной одной бесконечно удалённой точкой), не связанной с действительными числами отношением порядка, поэтому иногда для уточнения прямую с одной бесконечностью называют проективно расширенной, а с двумя — аффинно расширенной.

Знак плюс для элемента ${\displaystyle +\infty }$ часто не опускается как у других положительных чисел для того, чтобы избежать путаницы с беззнаковой бесконечностью проективно расширенной числовой прямой. Однако иногда знак всё же опускается, и в таких случаях проективная бесконечность обычно обозначается как ${\displaystyle \pm \infty }$.

Порядок

Множество вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ линейно упорядоченно по (отношению) ${\displaystyle \leqslant }$. Однако в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ нет (максимального) и (минимального) элементов. Если рассматривать систему вещественных чисел как линейно упорядоченное множество, то её расширение до системы ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ как раз состоит в добавлении максимального (${\displaystyle +\infty }$) и минимального (${\displaystyle -\infty }$) элементов.

Благодаря этому в системе ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ всякое непустое множество имеет (точную верхнюю грань) (конечную, если множество ограничено сверху, и ${\displaystyle +\infty }$, если не ограничено сверху). Аналогичное утверждение справедливо и для (точной нижней грани). Этим объясняется удобство введения элементов ${\displaystyle +\infty }$ и ${\displaystyle -\infty }$.

В расширенной числовой прямой существует 3 вида промежутков: интервал, полуинтервал и отрезок.

${\displaystyle (\alpha ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha <x<\beta \}}$ — интервал

${\displaystyle (\alpha ,\beta ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha <x\leq \beta \}}$, ${\displaystyle [\alpha ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha \leq x<\beta \}}$ — полуинтервал

${\displaystyle [\alpha ,\beta ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha \leq x\leq \beta \}}$ — отрезок

Так как бесконечности здесь такие же равноправные элементы как и числа, конечные и бесконечные промежутки не различаются как отдельные виды промежутков.

Топология

Отношение порядка ${\displaystyle <}$ порождает топологию ${\displaystyle \tau }$ на ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$. В топологии ${\displaystyle \tau }$ открытыми промежутками являются промежутки вида:

${\displaystyle (\alpha ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon \alpha <x<\beta \}}$

${\displaystyle (\alpha ,+\infty ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon x>\alpha \}}$

${\displaystyle [-\infty ,\beta )=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\colon x<\beta \}}$

${\displaystyle [-\infty ,+\infty ]=\{x\in {\overline {\mathbb {R} }}\}}$

где ${\displaystyle \alpha ,\beta \in {\overline {\mathbb {R} }}}$. Открытые множества же задаются как всевозможные объединения открытых промежутков.

Окрестности

Окрестностью ${\displaystyle U(a)}$ точки ${\displaystyle a\in {\overline {\mathbb {R} }}}$ называется всякое открытое множество, содержащее эту точку. И, как следует из определения открытых множеств топологии ${\displaystyle \tau }$, всякая окрестность точки ${\displaystyle a}$ включает один из открытых промежутков, содержащий ${\displaystyle a}$.

В курсах математического анализа обычно вводят более частное понятие ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестности ${\displaystyle U_{\varepsilon }(a)}$ точки расширенной числовой прямой (${\displaystyle \varepsilon >0}$).

В случае ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$, то есть когда ${\displaystyle a}$ является числом, ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестностью ${\displaystyle a}$ называется множество:

${\displaystyle U_{\varepsilon }(a){\overset {\mathrm {def} }{=}}(a-\varepsilon ,a+\varepsilon ).}$

Если же ${\displaystyle a=+\infty }$, то:

${\displaystyle U_{\varepsilon }(+\infty ){\overset {\mathrm {def} }{=}}\left({\frac {1}{\varepsilon }},+\infty \right],}$

а если ${\displaystyle a=-\infty }$, то:

${\displaystyle U_{\varepsilon }(-\infty ){\overset {\mathrm {def} }{=}}\left[-\infty ,-{\frac {1}{\varepsilon }}\right).}$

Понятие ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестностей для бесконечных чисел определено таким образом, что во всех случаях — когда ${\displaystyle a}$ является вещественным числом, или одной из бесконечностей — при уменьшении числа ${\displaystyle \varepsilon }$ соответствующие окрестности уменьшаются: ${\displaystyle 0<\varepsilon _{1}<\varepsilon _{2}\Rightarrow U_{\varepsilon _{1}}(a)\subset U_{\varepsilon _{2}}(a)}$.

Проколотые окрестности и ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестности определяются соответственно как окрестность и ${\displaystyle \varepsilon }$-окрестность, из которых удалили саму точку.

Пределы

Во многих курсах матанализа часто пределы при стремления к плюс или минус бесконечности определяются отдельно. Также часто отдельно определяются равенства пределов плюс и минус бесконечности. В ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ все эти ситуации укладываются в единое определение предела (которое соответствует общетопологическому определению предела).

Пусть ${\displaystyle f\colon X\to {\overline {\mathbb {R} }}}$, где ${\displaystyle X\subset {\overline {\mathbb {R} }}}$. В частности, ${\displaystyle f}$ может быть вещественной функцией вещественного переменного. Пусть ${\displaystyle x_{0},a\in {\overline {\mathbb {R} }}}$. Тогда:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=a{\overset {\mathrm {def} }{\iff }}\forall \varepsilon >0\;\exists \delta >0\;\forall x\in X\;(x\in U_{\delta }(x_{0})\Rightarrow f(x)\in U_{\varepsilon }(a))}$

При этом стремление к бесконечности с обеих сторон и равенство предела беззнаковой бесконечности этим определением не охватываются. Эти случа тоже могут быть охвачены общетопологическим определением предела, но уже в другой структуре, а именно в проективно расширенной числовой прямой.

Несмотря на то, что аффинно и проективно расширенные числовые прямые разные структуры, пределы в них связаны между собой. Если предел в ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ равен одной из бесконечностей, то в ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ он также равен бесконечности. Наоборот это не работает: если предел в ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ равен бесконечности, это ещё не значит, что в ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ он будет равен одной из бесконечностей. Пример этому всё тот же ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1}{x}}}$ в ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ равен бесконечности, а в ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ он не существует. Однако, связь между двумя структурами всё же можно сформулировать в виде утверждения в обе стороны: предел в ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} }}}$ равен бесконечности равен бесконечности тогда и только тогда, когда в ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ он либо равен одной из бесконечностей, либо не существует, но при этом множество его частичных пределов состоит только из бесконечностей.

Компактность

${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ — компактное хаусдорфово пространство. Пространство вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ является (полным), но не является компактным. Таким образом, расширенная система вещественных чисел ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ может рассматриваться как двухточечная компактификация ${\displaystyle \mathbb {R} }$. При этом ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ оказывается гомеоформным отрезку ${\displaystyle [0,1]}$. Этот факт имеет наглядную геометрическую иллюстрацию. Аналитически гомеоформизм ${\displaystyle f\colon [0,1]\to {\overline {\mathbb {R} }}}$ задаётся формулой:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}-\infty &x=0\\\operatorname {tg} \left(\pi x-{\dfrac {\pi }{2}}\right)&0<x<1\\+\infty &x=1\end{cases}}}$

В ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ (теорема Больцано — Вейерштрасса) выполняется для любой последовательности, а не только для ограниченной. Это значит, что у любой последовательности в ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ существует сходящаяся в ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ подпоследовательность. Таким образом, ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$ секвенциально компактно.

Операции

Для вещественных чисел и элементов ${\displaystyle \pm \infty }$ определены следующие действия:

${\displaystyle {\begin{aligned}a\pm \infty =\pm \infty +a&=\pm \infty ,&a&\neq \pm \infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&>0\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&<0\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&>0\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&<0\\a^{+\infty }&=+\infty ,&a&>1\\a^{-\infty }&=+\infty ,&0&<a<1\\a^{-\infty }&=0,&a&>1\\a^{+\infty }&=0,&0&\leq a<1\\(+\infty )^{a}&=+\infty ,&a&>0\\(+\infty )^{a}&=0,&a&<0\\\operatorname {ln} {+\infty }&=+\infty \end{aligned}}}$

Значение выражений ${\displaystyle (+\infty )-(+\infty ),0\times (\pm \infty ),{\frac {0}{0}}}$, ${\displaystyle 1^{\pm \infty }}$, ${\displaystyle (\pm \infty )^{0}}$, ${\displaystyle 0^{0}}$ не определены.

Вопреки распространённому мнению, значение выражения ${\displaystyle {\frac {a}{0}}}$, где ${\displaystyle a\neq 0}$, тоже не определено. Доопределение этого выражение одной из бесконечностей нарушит непрерывность операции деления. Это можно проиллюстрировать на примере функции ${\displaystyle {\frac {1}{x}}}$. Её предел в нуле слева равен ${\displaystyle -\infty }$, а справа ${\displaystyle +\infty }$, что означает, что двустороннего предела в этой точке нет. Из-за этого как бы мы не доопределили функцию в нуле, она останется разрывной.

Часто встречающаяся запись ${\displaystyle {\frac {a}{0}}=\infty }$ или ${\displaystyle {\frac {a}{0}}=\pm \infty }$ относится к принципиально другой структуре — проективно расширенной числовой прямой, в которой бесконечность представляет собой совершенно другой объект.

Алгебраические свойства

Следующие равенства означают: обе части либо обе равны, либо обе не имеют смысла

• ${\displaystyle a+b=b+a}$
• ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$
• ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$
• ${\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)}$

Следующие равенства верны, если их правая часть определена.

• ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$

Следующие свойства верны, если обе части правого неравенства имеют смысл

• если ${\displaystyle a\leq b}$, то ${\displaystyle a+c\leq b+c;}$
• если ${\displaystyle a\leq b,~c>0}$, то ${\displaystyle a\cdot c\leq b\cdot c.}$

См. также

(Проективно расширенная числовая прямая)

Примечания

1. Кудрявцев, 2003, с. 64.
2. Wolfram.
3. Кудрявцев, 2003, с. 75.
4. Рудин, 2004, с. 24.
5. Кудрявцев, 2003, с. 65.
6. Кудрявцев, 2003, с. 66.

Литература

• Кудрявцев, Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — .
• Cantrell D. W. Affinely Extended Real Numbers (англ.). Wolfram Math World. Weisstein E. W.. Дата обращения: 9 января 2022.
• Рудин У. Основы математического анализа = Principles of Mathematical Analysis. — 3-е изд. — М.: Лань, 2004. — 320 с. — .