Скаляр

Скаля́р (от лат. scalaris — ступенчатый) — величина, полностью определяемая в любой координатной системе одним числом или функцией, которое не изменяется при изменении пространственной системы координат. В математике под «числами» могут подразумеваться элементы произвольного поля, тогда как в физике имеются в виду действительные или комплексные числа. О функции, принимающей скалярные значения, говорят как о скалярной функции.

Скаляр всегда описывается одним числом, а вектор может описываться двумя или более числами.

При смене системы координат скаляр остаётся неизменным (инвариантным), в отличие, например, от компонентов вектора, которые могут быть разными у одного и того же вектора в разных базисах.

В общей и линейной алгебре скаляр — элемент основного поля. При этом, любой элемент линейного пространства может быть умножен на скаляр и результатом будет другой, (коллинеарный) элемент линейного пространства.

В (тензорном исчислении) скалярами являются тензоры валентности (0,0).

Развитие понятия в физике

Примерами скаляров являются длина, площадь, время, масса, плотность, температура, поток и т. п.

Важно заметить, что понятие скаляра довольно сильно связано с контекстом. Так, в общепринятом контексте современной физики часть приведённых величин скалярными не являются.

В современной физике, подразумевающей пространственно-временной подход, под скаляром обычно имеется в виду скалярное поле, то есть пространственно-временной скаляр, (лоренц-инвариантная) величина, не меняющаяся при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой (а в общей теории относительности и других метрических теориях гравитации — скаляр остается неизменным также и при переходе к неинерциальным системам отсчёта). В этом отличие от ньютоновской физики, где под скаляром понимается обычный скаляр обычного трёхмерного пространства (так, энергия в ньютоновском смысле — скаляр, а в пространственно-временном — лишь компонента четырёхмерного вектора).

Ошибочные примеры скаляров и нескалярные величины

Типичным примером величины, выражающейся одним числом, но не являющейся скаляром, является одна из координат вектора в каком-то произвольно выбранном базисе (при почти любом изменении базиса координата не останется неизменной, она, таким образом, не инвариант).

То же касается координаты тензора любой другой валентности (кроме нулевой).

Можно проиллюстрировать неинвариантность нескалярной величины на угловых координатах, ограниченных диапазоном в один оборот. В случае, если отсчёт ведётся от 0 до 2π (предел 2π не включается в диапазон и соответствует 0), угловое расстояние между 1,7π и 0,2π по модулю составит 1,5π, а если аналогичный отсчёт ведётся от –π до π (здесь предел π также не включается в диапазон), то угловое положение 1,7π предыдущего примера будет соответствовать –0,3π, и угловое расстояние между 0,2π и –0,3π по модулю составит 0,5π с отличием в половину диапазона. Так же учитывается возможная смена координат и в задачах с повторяющимися диапазонами, которые кратны обороту (или периоду) или используют часть оборота (половина оборота достаточна для определения углового положения симметричных тел и явлений).

Ещё одним примером величины, не являющейся, строго говоря, скаляром, является (псевдоскаляр) (хотя на практике иногда, исходя из соображений удобства или краткости, разграничения между скалярами и псевдоскалярами могут и не проводить, если это не существенно для изложения).

Примечания

1. Среди приведённых величин большинство являются скалярами лишь в весьма ограниченных контекстах. Так, хотя длина или площадь, понимаемые как длина и площадь, определённые для основного пространства рассматриваемой теории, несомненно, являются хорошими примерами скаляров, тем не менее, обычные (то есть рассматриваемые в рамках обычного трёхмерного пространства) длина и площадь, а также время — являются скалярами только в классической (ньютоновской) физике (см. замечание о современной физике), так как основное пространство современных физических теорий по умолчанию обычно включает как минимум четырёхмерное пространство-время. В общеупотребительном современном понимании скалярами из перечисленного являются масса, 4-мерная длина — (интервал) (а трёхмерная длина — нет!), 4-мерная (но не трёхмерная!) площадь, также — «инварианты» электромагнитного поля: E² − H², E⋅H. А время и энергия, например, являются не скалярами, первое — компонентой вектора 4-мерного перемещения, вторая — компонентой 4-вектора (энергии-импульса). Вообще же говоря, если идёт речь о физике, чтобы не ошибиться в понимании применения термина скаляр надо выяснить контекст: идёт ли речь об «обычном» трёхмерном пространстве или о пространственно-временной формулировке.
2. Речь идёт именно о координате в произвольном базисе, который можно менять. Тем не менее, координата определённого вектора в определённом фиксированном базисе — скаляр. Это внешне немного напоминает казуистику, но на самом деле просто подчёркивает тот факт, что настоящий скаляр остаётся инвариантным при любом изменении базиса (иногда класс преобразований базиса, для которых требуется инвариантность скаляра, ограничивают, но всё же этот класс остаётся достаточно широким; строго же говоря, даже если этот класс широк, если речь идёт об инварианте ограниченного класса преобразований, обычно его именно так и называют, не употребляя термина «скаляр».