Теорема Тевенена

Теоре́ма Тевене́на (теорема Тевенина, теорема Тевенена — Гельмгольца) — утверждение о том, что любой источник может быть эквивалентно заменён на последовательно соединённые идеальный (источник напряжения) и (внутреннее сопротивление); является двойственным утверждением к (теореме Нортона) об эквивалентной замене произвольной цепи на параллельно соединённые идеальный источник тока и внутреннее сопротивление.

Любая электрическая цепь электрически эквивалентна идеальному источнику напряжения с последовательно включенным с ним резистором.

Впервые сформулирована Германом фон Гельмгольцем в (1853 году) и независимо от него (Леоном Шарлем Тевененом) в (1883 году).

Формулировка

Для нелинейных электрических цепей теорема утверждает, что любая электрическая цепь, имеющая два вывода и состоящая из произвольной комбинации (источников напряжения), источников тока и резисторов (сопротивлений), электрически для этих двух выводов эквивалентна цепи с одним идеальным источником напряжения с ЭДС ${\displaystyle V}$ и одним резистором ${\displaystyle R}$, соединёнными последовательно с этим источником напряжения.

Иначе говоря, ток в любом сопротивлении ${\displaystyle Z_{n}}$, присоединенном к одной из выбранных цепей, равен току в этом же сопротивлении ${\displaystyle Z_{n}}$, присоединённом к идеальному источнику напряжения с напряжением, равным напряжению холостого хода цепи (напряжению на этих зажимах когда к ним ничего не подключено) и обладающим внутренним сопротивлением ${\displaystyle Z_{i}}$, равным полному сопротивлению внешней цепи, определённому со стороны зажимов ${\displaystyle Z_{n}}$ при условии, что все источники внутри цепи заменены полными сопротивлениями, равными внутренним полным сопротивлениям этих источников.

То есть, экспериментально, параметры эквивалентной замены «чёрного ящика» с двумя выводами определяются из двух измерений — (опыта холостого хода) и (опыта короткого замыкания). Пусть напряжение на зажимах (выводах) при холостом ходе будет ${\displaystyle V,}$ а ток при коротком замыкании этих же зажимов ${\displaystyle I,}$ тогда:

${\displaystyle V_{th}=V}$ и ${\displaystyle R_{th}=V/I}$

где ${\displaystyle V_{th}}$ — ЭДС идеального источника напряжения в эквивалентной замене,

${\displaystyle R_{th}}$ — сопротивление последовательно включенного с источником резистора в эквивалентной замене.

Если известна структура и параметры некоторой цепи, то формально можно вычислить параметры эквивалентной замены. При этом анализе при вычислении эквивалентного сопротивления все идеальные источники напряжения, входящие в цепь, мысленно закорачиваются, и вычисляется сопротивление полученной цепи относительно рассматриваемых зажимов. Далее пользуясь, например, (правилами Кирхгофа) вычисляется напряжение на зажимах. Полученные сопротивление и напряжение как раз и будут параметрами эквивалентной замены.

Теорема также применима для цепей синусоидального переменного тока в установившемся режиме, но при этом учитываются не активные сопротивления, токи и напряжения, а соответственно (импедансы) и (комплексные амплитуды) токов и напряжений.

Вычисление параметров эквивалентного источника

1. ЭДС эквивалентного источника вычисляется в режиме холостого хода, то есть находится напряжение между точками А и В в отсутствие подключённой нагрузки.

2. Внутреннее сопротивление эквивалентного источника можно определить двумя способами.

2.1. Все источники ЭДС в цепи заменяются закороткой, все источники тока — разрывом цепи. Находится сопротивление цепи относительно точек А и В. Это сопротивление будет равно внутреннему сопротивлению эквивалентного источника.

2.2. Точки А и В закорачиваются и находится ток короткого замыкания. Внутреннее сопротивление эквивалентного источника вычисляется как отношение ЭДС, найденного в п. 1 к току короткого замыкания.

Пример вычисления параметров эквивалентной замены

1. Исходная электрическая цепь
2. Вычисление эквивалентной ЭДС
3. Вычисление сопротивления эквивалентного резистора — источник напряжения мысленно закорочен
4. Результат эквивалентной замены

Вычисление эквивалентного напряжения (ЭДС) — напряжение, снимаемое с резистивного (делителя напряжения) состоящего из сопротивлений ${\displaystyle R_{4},R_{3},R_{2}}$, так как рассчитывается режим холостого хода, ток через резистор ${\displaystyle R_{1}=0}$ и падение напряжения на нём нулевое:

${\displaystyle V_{\mathrm {Th} }={R_{2}+R_{3} \over (R_{2}+R_{3})+R_{4}}\cdot V_{\mathrm {1} }=}$

${\displaystyle ={1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )+2\,\mathrm {k} \Omega }\cdot 15\,\mathrm {V} =}$

${\displaystyle ={1 \over 2}\cdot 15\,\mathrm {V} =7.5\,\mathrm {V} .}$

Вычисление эквивалентного сопротивления, источник напряжения закорочен:

${\displaystyle R_{\mathrm {Th} }=R_{1}+\left[\left(R_{2}+R_{3}\right)\|R_{4}\right]=}$

${\displaystyle =1\,\mathrm {k} \Omega +\left[\left(1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega \right)\|2\,\mathrm {k} \Omega \right]=}$

${\displaystyle =1\,\mathrm {k} \Omega +\left({1 \over (1\,\mathrm {k} \Omega +1\,\mathrm {k} \Omega )}+{1 \over (2\,\mathrm {k} \Omega )}\right)^{-1}=2\,\mathrm {k} \Omega .}$

Здесь символом ${\displaystyle \|}$ обозначено сопротивление параллельного соединения резисторов ${\displaystyle R_{4}}$ и ${\displaystyle R_{2}+R_{3}.}$

См. также

• (Метод эквивалентного генератора)
• (Теорема компенсации)
• (Правила Кирхгофа)

Примечания

1. В русскоязычной литературе иногда встречается некорректная транскрипция фамилии — «Тевенин»
2. H. Helmholtz, Über einige Gesetze der Vertheilung elektrischer Ströme in körperlichen Leitern mit Anwendung auf die thierisch-elektrischen Versuche от 3 августа 2009 на Wayback Machine, (Ann. der Physik und Chemie), Bd. 89, no. 6, 1853, S. 211—233
3. L. Thévenin, Extension de la loi d’Ohm aux circuits électromoteurs complexes, Annales Télégraphiques (3eme série), vol. 10, 1883, pp. 222—224.; L. Thévenin, Sur un nouveau théorème d’électricité dynamique, Comptes rendus, vol. 97, 1883, pp. 159—161.
4. D.H. Johnson, Equivalent circuit concept: the voltage-source equivalent от 13 августа 2017 на Wayback Machine, Proceedings of the IEEE, vol. 91, no. 4, 2003, pp. 636—640.

Литература

• Пейдж Ч. Алгебра электроники. — М.: Госэнерго, 1962. — 351 с.