Уравне́ние Пуассо́на — эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает
- электростатическое поле,
- гравитационное поле,
- стационарное поле температуры,
- поле давления,
- поле потенциала скорости в гидродинамике.
Оно названо в честь французского физика и математика Симеона Дени Пуассона.
Это уравнение имеет вид:
где — искомая функция, — оператор Лапласа, или лапласиан, а — заданная вещественная или комплексная функция на некотором многообразии.
В трёхмерной декартовой системе координат уравнение принимает форму:
В декартовой системе координат оператор Лапласа записывается в форме ( — оператор набла) и уравнение Пуассона принимает вид:
Уравнение Пуассона с называется уравнением Лапласа:
Уравнение Пуассона может быть решено с использованием функции Грина; см., например, статью экранированное уравнение Пуассона. Есть различные методы для получения численных решений. Например, используется итерационный алгоритм — «релаксационный метод».
Уравнение Пуассона в электростатике
Уравнение Пуассона является одним из важнейших уравнений электростатики. Оно широко используется для нахождения электростатического потенциала ( — радиус-вектор) для известного распределения заряда.
В единицах системы СИ:
где — электростатический потенциал (в вольтах), — объёмная плотность заряда (в кулонах на кубический метр), а — диэлектрическая проницаемость вакуума (в фарадах на метр). То есть в данном случае роль искомой функции играет , а роль функции перенимает .
В единицах системы СГС то же электростатическое уравнение Пуассона записывается как . Ниже используется только СИ.
Вывод уравнения для потенциала
Уравнение выводится из закона Гаусса ( и определения статического потенциала ():
В области пространства, где нет «непарной» плотности заряда, а именно локальные положительные заряды скомпенсированы локальными отрицательными (допустим, ионный заряд локально скомпенсирован электронным):
и уравнение для потенциала превращается в уравнение Лапласа:
Случай точечного заряда и обобщение
Известно, что потенциал, источником которого служит точечный электрический заряд , имеет вид
- .
Такой потенциал, называемый кулоновским, есть по сути (а строго говоря при ) функция Грина
для уравнения Пуассона, то есть решение уравнения
где — обозначение дельта-функции Дирака. Произведение трёх дельта-функций есть трехмерная дельта-функция, а .
В связи с этим ясно, что решение уравнения Пуассона с произвольной правой частью может быть записано как
Здесь имеется в виду наиболее простой случай «без граничных условий», когда принимается, что на бесконечности решение должно стремиться к нулю. Рассмотрение более общего случая произвольных граничных условий и вообще более подробное изложение - см. в статье (Функция Грина).
Физический смысл последней формулы — применение принципа суперпозиции (что возможно, поскольку уравнение Пуассона линейно) и нахождение потенциала как суммы потенциалов точечных зарядов .
Случай гауссовой плотности заряда
Для практически важного случая сферически симметричного гауссова распределения заряда :
где — общий заряд, решение уравнения Пуассона:
даётся выражением:
где — функция ошибок. Это решение можно проверить напрямую вычислением . Для , много больших, чем , приближается к единице, и потенциал приближается к потенциалу точечного заряда , как и следовало ожидать.
Уравнение Пуассона в других областях
Сфера электростатики — не единственная область применения уравнения Пуассона. В числе других областей — расчёт гравитационного потенциала ; его градиент определяет напряжённость гравитационного поля.
Потенциал , создаваемый точечной массой , расположенной в начале координат, равен
где — гравитационная постоянная, — расстояние от начала координат. На бесконечности потенциал такого вида обращается в ноль. В общем случае произвольного распределения массы, описываемого координатно-зависимой плотностью (кг/м3), уравнение Пуассона записывается:
С точностью до замены и изменения смысла величины («плотность заряда» «плотность массы»), уравнение подобно соответствующему электростатическому уравнению. Правда, в случае гравитационных сил не бывает ситуации отталкивания, но на решении этот факт никак не сказывается.
Решение такой же вид, как и в электростатике:
Рассмотрение уравнения Пуассона в остальных упоминавшихся в преамбуле областях физики может быть выполнено аналогично, только со специфическим для конкретной области смыслом входящих в него величин.
См. также
Примечания
- А. М. Макаров, Л. А. Лунева. Основы электромагнетизма : Том 3 курса системы открытого образования "Физика в техническом университете" : [ 30 июля 2020]. — МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2002.
Ссылки
- Poisson Equation at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
- L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, 1998.
- A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002.
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер
U etogo termina sushestvuyut i drugie znacheniya sm Uravnenie Puassona termodinamika Uravne nie Puasso na ellipticheskoe differencialnoe uravnenie v chastnyh proizvodnyh kotoroe opisyvaet elektrostaticheskoe pole gravitacionnoe pole stacionarnoe pole temperatury pole davleniya pole potenciala skorosti v gidrodinamike Ono nazvano v chest francuzskogo fizika i matematika Simeona Deni Puassona Eto uravnenie imeet vid D f f displaystyle Delta varphi f gde f displaystyle varphi iskomaya funkciya D displaystyle Delta operator Laplasa ili laplasian a f displaystyle f zadannaya veshestvennaya ili kompleksnaya funkciya na nekotorom mnogoobrazii V tryohmernoj dekartovoj sisteme koordinat uravnenie prinimaet formu 2 x 2 2 y 2 2 z 2 f x y z f x y z displaystyle left frac partial 2 partial x 2 frac partial 2 partial y 2 frac partial 2 partial z 2 right varphi x y z f x y z V dekartovoj sisteme koordinat operator Laplasa zapisyvaetsya v forme 2 displaystyle nabla 2 displaystyle nabla operator nabla i uravnenie Puassona prinimaet vid 2 f f displaystyle nabla 2 varphi f Uravnenie Puassona s f 0 displaystyle f equiv 0 nazyvaetsya uravneniem Laplasa D f 0 displaystyle Delta varphi 0 Uravnenie Puassona mozhet byt resheno s ispolzovaniem funkcii Grina sm naprimer statyu ekranirovannoe uravnenie Puassona Est razlichnye metody dlya polucheniya chislennyh reshenij Naprimer ispolzuetsya iteracionnyj algoritm relaksacionnyj metod Uravnenie Puassona v elektrostatikeUravnenie Puassona yavlyaetsya odnim iz vazhnejshih uravnenij elektrostatiki Ono shiroko ispolzuetsya dlya nahozhdeniya elektrostaticheskogo potenciala ϕ r displaystyle phi mathbf r r x i y j z k displaystyle mathbf r x mathbf i y mathbf j z mathbf k radius vektor dlya izvestnogo raspredeleniya zaryada V edinicah sistemy SI 2 ϕ r e 0 displaystyle nabla 2 phi rho over varepsilon 0 gde ϕ displaystyle phi elektrostaticheskij potencial v voltah r displaystyle rho obyomnaya plotnost zaryada v kulonah na kubicheskij metr a e 0 displaystyle varepsilon 0 dielektricheskaya pronicaemost vakuuma v faradah na metr To est v dannom sluchae rol iskomoj funkcii f displaystyle varphi igraet ϕ displaystyle phi a rol funkcii f displaystyle f perenimaet r r e 0 displaystyle rho mathbf r varepsilon 0 V edinicah sistemy SGS to zhe elektrostaticheskoe uravnenie Puassona zapisyvaetsya kak 2 ϕ 4 p r displaystyle nabla 2 phi 4 pi rho Nizhe ispolzuetsya tolko SI Vyvod uravneniya dlya potenciala Uravnenie vyvoditsya iz zakona Gaussa d i v E E r e 0 displaystyle mathrm div mathbf E equiv nabla cdot mathbf E rho over varepsilon 0 i opredeleniya staticheskogo potenciala E ϕ displaystyle mathbf E nabla phi r e 0 E ϕ ϕ 2 ϕ displaystyle rho over varepsilon 0 nabla cdot mathbf E nabla cdot nabla phi nabla cdot nabla phi nabla 2 phi V oblasti prostranstva gde net neparnoj plotnosti zaryada a imenno lokalnye polozhitelnye zaryady skompensirovany lokalnymi otricatelnymi dopustim ionnyj zaryad lokalno skompensirovan elektronnym r 0 displaystyle rho 0 i uravnenie dlya potenciala prevrashaetsya v uravnenie Laplasa 2 ϕ 0 displaystyle nabla 2 phi 0 Sluchaj tochechnogo zaryada i obobshenie Izvestno chto potencial istochnikom kotorogo sluzhit tochechnyj elektricheskij zaryad q displaystyle q imeet vid ϕ q 1 4 p e 0 q r displaystyle phi q 1 over 4 pi varepsilon 0 q over r Takoj potencial nazyvaemyj kulonovskim est po suti a strogo govorya pri q 1 displaystyle q 1 funkciya Grina F 1 x y z 1 4 p e 0 1 r displaystyle Phi 1 x y z 1 over 4 pi varepsilon 0 1 over r dlya uravneniya Puassona to est reshenie uravneniya D f 1 e 0 d x d y d z displaystyle Delta varphi 1 over varepsilon 0 delta x delta y delta z gde d x displaystyle delta x oboznachenie delta funkcii Diraka Proizvedenie tryoh delta funkcij est trehmernaya delta funkciya a r x 2 y 2 z 2 displaystyle r sqrt x 2 y 2 z 2 V svyazi s etim yasno chto reshenie uravneniya Puassona s proizvolnoj pravoj chastyu mozhet byt zapisano kak ϕ x y z r 3 h z F 1 x 3 y h z z d 3 d h d z displaystyle phi x y z int rho xi eta zeta Phi 1 x xi y eta z zeta d xi d eta d zeta 1 4 p e 0 r 3 h z x 3 2 y h 2 z z 2 d 3 d h d z displaystyle int 1 over 4 pi varepsilon 0 rho xi eta zeta over sqrt x xi 2 y eta 2 z zeta 2 d xi d eta d zeta Zdes imeetsya v vidu naibolee prostoj sluchaj bez granichnyh uslovij kogda prinimaetsya chto na beskonechnosti reshenie dolzhno stremitsya k nulyu Rassmotrenie bolee obshego sluchaya proizvolnyh granichnyh uslovij i voobshe bolee podrobnoe izlozhenie sm v state Funkciya Grina Fizicheskij smysl poslednej formuly primenenie principa superpozicii chto vozmozhno poskolku uravnenie Puassona linejno i nahozhdenie potenciala kak summy potencialov tochechnyh zaryadov r d V displaystyle rho dV Sluchaj gaussovoj plotnosti zaryada Dlya prakticheski vazhnogo sluchaya sfericheski simmetrichnogo gaussova raspredeleniya zaryada r r displaystyle rho r r r Q s 3 2 p 3 2 e r 2 2 s 2 displaystyle rho r frac Q sigma 3 2 pi 3 2 e r 2 2 sigma 2 gde Q displaystyle Q obshij zaryad reshenie ϕ r displaystyle phi r uravneniya Puassona 2 ϕ r e 0 displaystyle nabla 2 phi rho over varepsilon 0 dayotsya vyrazheniem ϕ r 1 4 p e 0 Q r erf r 2 s displaystyle phi r 1 over 4 pi varepsilon 0 frac Q r mbox erf left frac r sqrt 2 sigma right gde e r f x displaystyle mathrm erf x funkciya oshibok Eto reshenie mozhno proverit napryamuyu vychisleniem 2 ϕ displaystyle nabla 2 phi Dlya r displaystyle r mnogo bolshih chem s displaystyle sigma e r f x displaystyle mathrm erf x priblizhaetsya k edinice i potencial ϕ r displaystyle phi r priblizhaetsya k potencialu tochechnogo zaryada 1 4 p e 0 Q r displaystyle 1 over 4 pi varepsilon 0 Q over r kak i sledovalo ozhidat Uravnenie Puassona v drugih oblastyahSfera elektrostatiki ne edinstvennaya oblast primeneniya uravneniya Puassona V chisle drugih oblastej raschyot gravitacionnogo potenciala f displaystyle varphi ego gradient opredelyaet napryazhyonnost gravitacionnogo polya Potencial f displaystyle varphi sozdavaemyj tochechnoj massoj m displaystyle m raspolozhennoj v nachale koordinat raven f m G m r displaystyle varphi m frac Gm r gde G displaystyle G gravitacionnaya postoyannaya r displaystyle r rasstoyanie ot nachala koordinat Na beskonechnosti potencial takogo vida obrashaetsya v nol V obshem sluchae proizvolnogo raspredeleniya massy opisyvaemogo koordinatno zavisimoj plotnostyu r displaystyle rho kg m3 uravnenie Puassona zapisyvaetsya 2 f 4 p G r displaystyle nabla 2 varphi 4 pi G rho S tochnostyu do zameny 1 e 0 4 p G displaystyle 1 varepsilon 0 to 4 pi G i izmeneniya smysla velichiny r displaystyle rho plotnost zaryada displaystyle to plotnost massy uravnenie podobno sootvetstvuyushemu elektrostaticheskomu uravneniyu Pravda v sluchae gravitacionnyh sil ne byvaet situacii ottalkivaniya no na reshenii etot fakt nikak ne skazyvaetsya Reshenie takoj zhe vid kak i v elektrostatike f x y z G r 3 h z x 3 2 y h 2 z z 2 d 3 d h d z displaystyle varphi x y z int G rho xi eta zeta over sqrt x xi 2 y eta 2 z zeta 2 d xi d eta d zeta Rassmotrenie uravneniya Puassona v ostalnyh upominavshihsya v preambule oblastyah fiziki mozhet byt vypolneno analogichno tolko so specificheskim dlya konkretnoj oblasti smyslom vhodyashih v nego velichin Sm takzhe angl Ekranirovannoe uravnenie PuassonaPrimechaniyaA M Makarov L A Luneva Osnovy elektromagnetizma Tom 3 kursa sistemy otkrytogo obrazovaniya Fizika v tehnicheskom universitete 30 iyulya 2020 MGTU im N E Baumana 2002 SsylkiPoisson Equation at EqWorld The World of Mathematical Equations L C Evans Partial Differential Equations American Mathematical Society Providence 1998 ISBN 0 8218 0772 2 A D Polyanin Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists Chapman amp Hall CRC Press Boca Raton 2002 ISBN 1 58488 299 9