Уравне́ние Шви́нгера — Томона́ги, в квантовой теории поля, основное уравнение движения, обобщающее уравнение Шрёдингера на релятивистский случай.
Волновая функция в релятивистом случае должна быть задана как функционал пространственноподобных гиперповерхностей . Уравнение Швингера — Томонаги для волновой функции имеет вид:
где — плотность гамильтониана
— координата в пространстве Минковского . Уравнение Швингера — Томонаги для матрицы плотности, также являющая функционалом пространственноподобных гиперповерхностей, имеет вид:
Пространственноподобные гиперповерхности определяются трёхмерным многообразием в , которая может быть расширено во всех пространственноподобных направлениях. Данные многообразия определяются тем, что в каждой точке гиперповерхность имеет единичный нормальный вектор
являющийся времениподобным
Уравнение Швингера — Томонаги является функциональным дифференциальным уравнением. Его можно рассматривать как дифференциальное уравнение в континуальном семействе переменных времени. Для этого необходимо выбрать параметризацию гиперповерхности координатами трёхмерного пространства , тогда точки могут быть представлены в виде . Таким образом, каждая точка имеет собственную переменную времени .
Функциональная производная в уравнении Швингера — Томонаги
Рассмотрим точку и варьированную гиперповерхность , отличную от лишь в некоторой окрестности точки . Через обозначим объём четырёхмерной области, заключённой между и . Тогда функциональная производная произвольного функционала , приставляющем собой отображение из множества гиперповерхностей в вещественные числа, определяется следующим образом
Решение уравнения Швингера — Томонаги
Решение уравнения Швингера — Томонаги для матрицы плотности может быть представлено как
где — унитарный оператор эволюции, имеющий вид
где — упорядоченная по времени экспонента. — начальная матрица плотности, определённая на начальной гиперповерхности . Аналогично, решение уравнения Швингера — Томонаги для волновой функции может быть представлено как
где — начальная волновая функция.
Необходимое условие интегрируемости
Также как дифференциальные уравнения в частных производных требуют для интегрируемости перестановочности этих производных, так и уравнение Швингера — Томонаги для матрицы плотности имеет необходимое условие интегрируемости, требующее перестановочности вариационных производных в произвольных точках каждой фиксированной пространственноподобной гиперповерхности :
Это условие является следствием требования микропричинности для плотности гамильтониана . Оно утверждает, что гамильтонианы для различных точек пространственноподобных интервалов
Действительно, с учётом тождества Якоби, имеем:
Условие интегрируемости обеспечивает однозначность решения.
Расслоение пространства-времени и уравнение Шрёдингера
Расслоение пространства определяется гладким однопараметрическим семейством
состоящим из пространноподобных гиперповерхностей с тем свойством, что каждая точка принадлежит одной и только одной гиперповерхности :
Обозначим гиперповерхность, соответствующую точке как . Фиксированное расслоение порождает семейство векторов-состояний
Тогда уравнение Швингера — Томонаги может быть переформулировано в интегральной форме
Четырёхмерное интегрирование расширяется на область, окружённую начальной гиперповерхностью и гиперповерхностью семейства, которое всецело лежит в будущем .
Пусть гиперповерхности могут быть определены неявным выражением
где — гладкая скалярная функция. Тогда единичный вектор нормали
Для удобство нормируем функцию определяющую гиперплоскость так, чтобы исключить нормировочный множитель в формуле для нормали
Дифференцируя интегральное уравнение для векторов-состояний
где интегрирование выполняется по гиперповерхности . Это уравнение является ковариантным обобщением уравнения Шрёдингера. С учётом
уравнение движения для векторов-состояния примет вид
Историческая справка
Сразу же после появление квантовой механики начали предприниматься попытки построить её релятивистское обобщение. Но на этом пути возникла принципиальная трудность, связанная с тем, что в формализме квантовой механики время играет существенно выделенную роль, отличную от координат. С другой стороны, в теории относительности время и пространственные координаты должны выступать симметрично как компоненты одного 4-вектора.
Чтобы найти релятивистское обобщение уравнения для эволюции состояний, потребовалось понять, что нерелятивистское время играет сразу две роли, которые при релятивистском обобщении расщепляются. С одной стороны, это индивидуальное время события — именно это время должно быть симметрично координатам, с другой — оно служит параметром эволюции, упорядочивающим события в пространственно разнесённых точках. Релятивистским обобщением этой второй функции времени может служить любая совокупность взаимно пространственноподобных точек, такая, что любая времениподобная мировая линия включает одну и только одну точку этой совокупности. Такой совокупностью является пространственноподобная гиперповерхность .
Уравнение в описанной форме было независимо введено С. Томонагой в 1946 году и Дж. Швингером в 1948 году и послужило основой для построения Лоренц-инвариантной теории возмущений.
Примечания
- Прохоров, 1992, ТОМОНАГА - ШВИНГЕРА УРАВНЕНИЕ.
- Боголюбов и Ширков, 1984, с. 397.
- Бройер и Петруччионе, 2010, с. 620.
- Такое определение требует, чтобы он был определён не только на пространственнопдобных гиперповерхностях, но и на их достаточно малых вариациях.
- Боголюбов и Ширков, 1984, с. 400.
- Бройер и Петруччионе, 2010, с. 622.
- Бройер и Петруччионе, 2010, с. 623.
- А также в исходном для неё формализмк классической гамильтоновой механики.
Литература
- Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В . Введение в теорию квантованных полей. — 4-е изд., испр. — М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — 600 с. — .
- Бройер Х.-П., Петруччионе Ф. . Теория открытых квантовых систем / Пер. с англ. под ред. Ю. И. Богданова. — М. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2010. — 824 с. — .
- Прохоров А. М. (ред.). Физическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1992. — Т. 3. — 672 с. — .
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер
Uravne nie Shvi ngera Tomona gi v kvantovoj teorii polya osnovnoe uravnenie dvizheniya obobshayushee uravnenie Shryodingera na relyativistskij sluchaj Volnovaya funkciya v relyativistom sluchae dolzhna byt zadana kak funkcional prostranstvennopodobnyh giperpoverhnostej PS s displaystyle Psi sigma Uravnenie Shvingera Tomonagi dlya volnovoj funkcii imeet vid i ℏ d PS s d s x H x PS s displaystyle i hbar frac delta Psi sigma delta sigma x mathcal H x Psi sigma gde H x displaystyle mathcal H x plotnost gamiltoniana H t H x d 3 x displaystyle H t int mathcal H x d 3 mathbf x x x 0 x displaystyle x x 0 mathbf x koordinata v prostranstve Minkovskogo R 1 3 displaystyle mathbb R 1 3 Uravnenie Shvingera Tomonagi dlya matricy plotnosti takzhe yavlyayushaya funkcionalom prostranstvennopodobnyh giperpoverhnostej imeet vid i ℏ d r s d s x H x r s displaystyle i hbar frac delta rho sigma delta sigma x mathcal H x rho sigma Prostranstvennopodobnye giperpoverhnosti s displaystyle sigma opredelyayutsya tryohmernym mnogoobraziem v R 1 3 displaystyle mathbb R 1 3 kotoraya mozhet byt rasshireno vo vseh prostranstvennopodobnyh napravleniyah Dannye mnogoobraziya opredelyayutsya tem chto v kazhdoj tochke x s displaystyle x in sigma giperpoverhnost imeet edinichnyj normalnyj vektor n m x n m x 1 displaystyle n mu x n mu x 1 yavlyayushijsya vremenipodobnym n 0 x 1 displaystyle n 0 x geqslant 1 Uravnenie Shvingera Tomonagi yavlyaetsya funkcionalnym differencialnym uravneniem Ego mozhno rassmatrivat kak differencialnoe uravnenie v kontinualnom semejstve peremennyh vremeni Dlya etogo neobhodimo vybrat parametrizaciyu giperpoverhnosti s displaystyle sigma koordinatami x displaystyle mathbf x tryohmernogo prostranstva R 3 displaystyle mathbb R 3 togda tochki x s displaystyle x in sigma mogut byt predstavleny v vide x x 0 x x displaystyle x x 0 mathbf x mathbf x Takim obrazom kazhdaya tochka x R 3 displaystyle mathbf x in mathbb R 3 imeet sobstvennuyu peremennuyu vremeni x 0 x 0 x displaystyle x 0 x 0 mathbf x Funkcionalnaya proizvodnaya v uravnenii Shvingera TomonagiRassmotrim tochku x s displaystyle x in sigma i varirovannuyu giperpoverhnost s d s displaystyle sigma delta sigma otlichnuyu ot s displaystyle sigma lish v nekotoroj okrestnosti O x displaystyle O x tochki x displaystyle x Cherez W x displaystyle Omega x oboznachim obyom chetyryohmernoj oblasti zaklyuchyonnoj mezhdu s displaystyle sigma i s d s displaystyle sigma delta sigma Togda funkcionalnaya proizvodnaya d d s x displaystyle frac delta delta sigma x proizvolnogo funkcionala F s displaystyle F sigma pristavlyayushem soboj otobrazhenie iz mnozhestva giperpoverhnostej v veshestvennye chisla opredelyaetsya sleduyushim obrazom d F s d s x lim W x 0 F s d s F s W x displaystyle frac delta F sigma delta sigma x underset Omega x rightarrow 0 lim frac F sigma delta sigma F sigma Omega x Reshenie uravneniya Shvingera TomonagiReshenie uravneniya Shvingera Tomonagi dlya matricy plotnosti mozhet byt predstavleno kak r s U s s 0 r s 0 U s s 0 displaystyle rho sigma U sigma sigma 0 rho sigma 0 U dagger sigma sigma 0 gde U s s 0 displaystyle U sigma sigma 0 unitarnyj operator evolyucii imeyushij vid U s s 0 T e x p i ℏ s 0 s H x d 4 x displaystyle U sigma sigma 0 mathrm Texp left i hbar int sigma 0 sigma mathcal H x d 4 x right gde T e x p displaystyle mathrm Texp uporyadochennaya po vremeni eksponenta r s 0 displaystyle rho sigma 0 nachalnaya matrica plotnosti opredelyonnaya na nachalnoj giperpoverhnosti s 0 displaystyle sigma 0 Analogichno reshenie uravneniya Shvingera Tomonagi dlya volnovoj funkcii mozhet byt predstavleno kak PS s U s s 0 PS s 0 displaystyle Psi sigma U sigma sigma 0 Psi sigma 0 gde PS s 0 displaystyle Psi sigma 0 nachalnaya volnovaya funkciya Neobhodimoe uslovie integriruemostiTakzhe kak differencialnye uravneniya v chastnyh proizvodnyh trebuyut dlya integriruemosti perestanovochnosti etih proizvodnyh tak i uravnenie Shvingera Tomonagi dlya matricy plotnosti imeet neobhodimoe uslovie integriruemosti trebuyushee perestanovochnosti variacionnyh proizvodnyh v proizvolnyh tochkah kazhdoj fiksirovannoj prostranstvennopodobnoj giperpoverhnosti s displaystyle sigma d 2 r s d s x d s y d 2 r s d s y d s x 0 x y s displaystyle frac delta 2 rho sigma delta sigma x delta sigma y frac delta 2 rho sigma delta sigma y delta sigma x 0 qquad forall x y in sigma Eto uslovie yavlyaetsya sledstviem trebovaniya mikroprichinnosti dlya plotnosti gamiltoniana H x displaystyle mathcal H x Ono utverzhdaet chto gamiltoniany dlya razlichnyh tochek prostranstvennopodobnyh intervalov H x H y 0 x y 2 lt 0 displaystyle mathcal H x mathcal H y 0 qquad x y 2 lt 0 Dejstvitelno s uchyotom tozhdestva Yakobi imeem d 2 r s d s x d s y d 2 r s d s y d s x H x H y r s 0 x y s displaystyle frac delta 2 rho sigma delta sigma x delta sigma y frac delta 2 rho sigma delta sigma y delta sigma x mathcal H x mathcal H y rho sigma 0 qquad forall x y in sigma Uslovie integriruemosti obespechivaet odnoznachnost resheniya Rassloenie prostranstva vremeni i uravnenie ShryodingeraRassloenie prostranstva R 1 3 displaystyle mathbb R 1 3 opredelyaetsya gladkim odnoparametricheskim semejstvom F s t displaystyle mathcal F sigma tau sostoyashim iz prostrannopodobnyh giperpoverhnostej s t displaystyle sigma tau s tem svojstvom chto kazhdaya tochka x R 1 3 displaystyle x in mathbb R 1 3 prinadlezhit odnoj i tolko odnoj giperpoverhnosti s t displaystyle sigma tau x R 1 3 t R x s t displaystyle forall x in mathbb R 1 3 exists tau in mathbb R x in sigma tau Oboznachim giperpoverhnost sootvetstvuyushuyu tochke x displaystyle x kak s x displaystyle sigma x Fiksirovannoe rassloenie F displaystyle mathcal F porozhdaet semejstvo vektorov sostoyanij PS t PS s t displaystyle Psi tau rangle Psi sigma tau Togda uravnenie Shvingera Tomonagi mozhet byt pereformulirovano v integralnoj forme PS t PS 0 i ℏ s 0 s t H x PS s x d 4 x displaystyle Psi tau rangle Psi 0 rangle i hbar int sigma 0 sigma tau mathcal H x Psi sigma x d 4 x Chetyryohmernoe integrirovanie rasshiryaetsya na oblast okruzhyonnuyu nachalnoj giperpoverhnostyu s 0 s 0 displaystyle sigma 0 sigma 0 i giperpoverhnostyu s t displaystyle sigma tau semejstva kotoroe vsecelo lezhit v budushem s 0 displaystyle sigma 0 Pust giperpoverhnosti s t displaystyle sigma tau mogut byt opredeleny neyavnym vyrazheniem f x t 0 displaystyle tilde f x tau 0 gde f x t displaystyle tilde f x tau gladkaya skalyarnaya funkciya Togda edinichnyj vektor normali n m x 1 f x t x m f x t x m f x t x m displaystyle n mu x frac 1 sqrt frac partial tilde f x t partial x mu frac partial tilde f x t partial x mu frac partial tilde f x t partial x mu Dlya udobstvo normiruem funkciyu f x t 0 displaystyle f x tau 0 opredelyayushuyu giperploskost tak chtoby isklyuchit normirovochnyj mnozhitel v formule dlya normali n m x f x t x m displaystyle n mu x frac partial f x t partial x mu Differenciruya integralnoe uravnenie dlya vektorov sostoyanij d d t PS t i ℏ s t f t H x PS t d s x displaystyle frac d d tau Psi tau rangle frac i hbar int sigma tau left frac partial f partial tau right mathcal H x Psi tau rangle d sigma x gde integrirovanie vypolnyaetsya po giperpoverhnosti s t F displaystyle sigma tau in mathcal F Eto uravnenie yavlyaetsya kovariantnym obobsheniem uravneniya Shryodingera S uchyotom s t f t H x d s x s t n 0 x 0 t H x d s x H t displaystyle int sigma tau left frac partial f partial tau right mathcal H x d sigma x int sigma tau left n 0 frac partial x 0 partial tau right mathcal H x d sigma x H tau uravnenie dvizheniya dlya vektorov sostoyaniya primet vid i ℏ d d t PS t H t PS t displaystyle i hbar frac d d tau Psi tau rangle H tau Psi tau rangle Istoricheskaya spravkaSrazu zhe posle poyavlenie kvantovoj mehaniki nachali predprinimatsya popytki postroit eyo relyativistskoe obobshenie No na etom puti voznikla principialnaya trudnost svyazannaya s tem chto v formalizme kvantovoj mehaniki vremya igraet sushestvenno vydelennuyu rol otlichnuyu ot koordinat S drugoj storony v teorii otnositelnosti vremya i prostranstvennye koordinaty dolzhny vystupat simmetrichno kak komponenty odnogo 4 vektora Chtoby najti relyativistskoe obobshenie uravneniya dlya evolyucii sostoyanij potrebovalos ponyat chto nerelyativistskoe vremya igraet srazu dve roli kotorye pri relyativistskom obobshenii rassheplyayutsya S odnoj storony eto individualnoe vremya sobytiya imenno eto vremya dolzhno byt simmetrichno koordinatam s drugoj ono sluzhit parametrom evolyucii uporyadochivayushim sobytiya v prostranstvenno raznesyonnyh tochkah Relyativistskim obobsheniem etoj vtoroj funkcii vremeni mozhet sluzhit lyubaya sovokupnost vzaimno prostranstvennopodobnyh tochek takaya chto lyubaya vremenipodobnaya mirovaya liniya vklyuchaet odnu i tolko odnu tochku etoj sovokupnosti Takoj sovokupnostyu yavlyaetsya prostranstvennopodobnaya giperpoverhnost s displaystyle sigma Uravnenie v opisannoj forme bylo nezavisimo vvedeno S Tomonagoj v 1946 godu i Dzh Shvingerom v 1948 godu i posluzhilo osnovoj dlya postroeniya Lorenc invariantnoj teorii vozmushenij PrimechaniyaProhorov 1992 TOMONAGA ShVINGERA URAVNENIE Bogolyubov i Shirkov 1984 s 397 Brojer i Petruchchione 2010 s 620 Takoe opredelenie trebuet chtoby on byl opredelyon ne tolko na prostranstvennopdobnyh giperpoverhnostyah no i na ih dostatochno malyh variaciyah Bogolyubov i Shirkov 1984 s 400 Brojer i Petruchchione 2010 s 622 Brojer i Petruchchione 2010 s 623 A takzhe v ishodnom dlya neyo formalizmk klassicheskoj gamiltonovoj mehaniki LiteraturaBogolyubov N N Shirkov D V Vvedenie v teoriyu kvantovannyh polej 4 e izd ispr M Nauka Glavnaya redakciya fiziko matematicheskoj literatury 1984 600 s ISBN 978 5 93972 774 7 Brojer H P Petruchchione F Teoriya otkrytyh kvantovyh sistem Per s angl pod red Yu I Bogdanova M Izhevsk NIC Regulyarnaya i haoticheskaya dinamika Institut kompyuternyh issledovanij 2010 824 s ISBN 978 5 93972 774 7 Prohorov A M red Fizicheskaya enciklopediya M Sovetskaya enciklopediya 1992 T 3 672 s ISBN 5 85270 034 7