Уравнение движения

Уравне́ние движе́ния (уравнения движения) — уравнение или система уравнений, задающие закон эволюции механической или динамической системы (например, поля) во времени и пространстве.

Эволюция физической системы однозначно определяется уравнениями движения и (начальными условиями).

Введение

В уравнении движения динамической системы входит полный набор переменных, определяющий состояние этой системы (например, все координаты и скорости, или все координаты и импульсы), а также их производные по времени, что позволяет, зная такой набор в некий момент времени, вычислить его для момента времени, отстоящего на малый (бесконечно малый) промежуток времени. В принципе, повторяя этот процесс вычисления последовательно большое (бесконечное) количество раз, можно вычислить значение всех этих переменных для момента времени, как угодно далеко отстоящего от начального. С помощью такого процесса можно (выбрав ${\displaystyle \Delta t}$ достаточно малым, но конечным) получить приближённое численное решение уравнений движения. Однако чтобы получить точное решение, приходится применять другие математические методы.

В современной квантовой теории термин уравнение движения нередко используется для обозначения именно только классических уравнений движения, то есть как раз для различения классического и квантового случая. В таком употреблении, например, слова «решение уравнений движения» означают именно классическое (неквантовое) приближение, которое может затем так или иначе использоваться при получении квантового результата или для сравнения с ним. В этом смысле уравнения эволюции волновой функции не называют уравнениями движения, например упомянутые ниже уравнение Шредингера и уравнение Дирака нельзя назвать уравнением движения электрона. Определённую ясность тут вносит дополнение, указывающее на то, об уравнении движения чего идёт речь: так, хотя уравнение Дирака нельзя назвать уравнением движения электрона, его можно, даже в смысле, обсуждаемом в этом абзаце, назвать классическим уравнением движения спинорного поля.

Примеры

Простой механический пример

Рассмотрим в рамках ньютоновской механики точечную частицу, способную перемещаться лишь по одной прямой (например, бусину, скользящую по гладкой спице). Будем описывать положение частицы на прямой единственным числом — координатой — x. Пусть на эту частицу действует (например, со стороны некоторой пружины) сила f, зависящая от положения частицы по закону Гука, то есть, выбрав удобное начало отсчёта x, можем записать f = — k x. В таком случае, учитывая второй закон Ньютона и кинематические соотношения, обозначив скорость как v, будем иметь следующие уравнения движения для нашей системы:

${\displaystyle dv/dt=-(k/m)x}$

${\displaystyle dx/dt=v}$,

или, исключая v из системы:

${\displaystyle d^{2}x/dt^{2}=-(k/m)x}$

Подставив начальную координату и скорость в правые части этих уравнений, и заменив бесконечно малое dt на малое, но конечное, ${\displaystyle \delta t}$, и переписав приближённо в соответствии с этим уравнения в первой форме — в виде величина(${\displaystyle t+\delta t}$) = величина(t) + производная·${\displaystyle \delta t}$, получим:

${\displaystyle v(t+\delta t)=v(t)-(k/m)x(t)\delta t}$

${\displaystyle x(t+\delta t)=x(t)+v(t)\delta t}$,

и, переходя от предыдущего момента к следующему (каждый раз время растёт на ${\displaystyle \delta t}$), можем получить численное решение этих уравнений движения в виде таблицы ${\displaystyle {x(0),v(0);x(\delta t),v(\delta t);x(2\delta t),v(2\delta t);\dots ;x(n\delta t),v(n\delta t);}}$, приближенно представляющей зависимость x(t) и v(t) от времени (с шагом ${\displaystyle \delta t}$). Можно увидеть, что, если ${\displaystyle \delta t}$ было выбрано достаточно малым, что x(t) и v(t) очень близко совпадают с функцией ${\displaystyle const\cdot \cos({\sqrt {k/m}}\cdot t+const')}$.

Использовав для догадки это приближённое решение или какие-то другие соображения, можем, если мы уже подозреваем, каким должно быть решение, просто подставить

${\displaystyle x=A\cos(\omega t+\phi )}$,

где ${\displaystyle A,\omega ,\phi }$ — просто постоянные, в точные уравнения движения, взяв нужные производные по времени от этого выражения. При этом мы сможем убедиться, что нетрудно подобрать конкретные значения ${\displaystyle A,\omega ,\phi }$, чтобы равенство при этой подстановке выполнялось, а также найти необходимые для этого значения ${\displaystyle A,\omega ,\phi }$ (оказывается, ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle \phi }$ могут быть любыми, а ${\displaystyle \omega ={\sqrt {k/m}}}$. Мы получили таким образом точное решение уравнений движения, да ещё и общее точное решение (то есть подходящее для любых начальных условий, в чём нетрудно убедиться).

Теперь, имея это общее точное решение, мы можем выбрать из множества общих решений (с разными ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle \phi }$) частное решение, удовлетворяющее конкретным начальным условиям. Так мы решим задачу для заданного уравнения движения и начальных условий.

Так иллюстрируется понятие уравнения движения (уравнений движения) и их решения на конкретном простом примере.

Примеры уравнений движения в разных областях физики

• В классической механике

  Законы Ньютона

  (кроме собственно законов Ньютона — а именно второго — в уравнения движения ньютоновской механики входят кинематические уравнения и конкретные законы сил, такие, как например закон всемирного тяготения или закон Гука).

  (Уравнения Эйлера — Лагранжа)

  (Уравнения Гамильтона)

• В классической статистической механике:

  (Уравнение Лиувилля)

  (Уравнение Боголюбова)

  (Уравнение Больцмана)

  (Уравнение Власова)

• В классической теории поля:

  Уравнения Максвелла (могут быть записаны и использоваться в разной форме).

  (Уравнение движения сплошной среды)

• В квантовой механике (см. замечание в основной статье о возможных ограничениях применимости термина уравнения движения в этой области)

  Уравнение Шредингера

  (Уравнение Гейзенберга)

  (Уравнение Линдблада)

  (Уравнение фон Неймана)

  Уравнение Дирака

Примечания

1. Когда говорят об уравнениях движения в общеупотребительном смысле, подразумеваются дифференциальные или интегро-дифференциальные уравнения (хотя некоторые другие типы уравнений, например  — для дискретных систем — могут представлять собой достаточно близкую аналогию).
2. Слова «в принципе… как угодно далеко» означают, что это верно вообще говоря лишь для математической модели (которая всегда лишь с некоторой погрешностью описывает физическую реальность), при этом с абсолютно точно заданными начальными данными; в реальности корректность предсказания состояния системы с помощью уравнений движения на длительный срок вперед определяется погрешностями записи самих уравнений (по сравнению с описываемой ими реальностью), погрешностью задания начальных данных и (устойчивостью решений) данного конкретного вида уравнений; тем не менее в ряде случаев (хотя и далеко не во всех) на практике предсказание с помощью уравнений движения бывает весьма точным на достаточно больших временных промежутках (как например в небесной механике) или хотя бы удовлетворительным.
3. Под точным решением, конечно, подразумевается «точное в рамках математической модели», то есть не рассматривая погрешность в написании самих уравнений; могло бы показаться, что получением точных решений незачем заботиться, раз уже и сами уравнения не абсолютно точно отражают физическую реальность, однако, не говоря уж о том, что зачастую погрешность модели достаточно мала и точные в математическом смысле решения, достаточно точны тогда и в физическом, точные решения обладают как правило еще одним преимуществом: они записываются в виде формул в такой форме, которая позволят гораздо удобнее их использовать в дальнейших вычислениях и анализе, что важно и для практики и для теоретического осмысления, ведь одно точное решение с несколькими параметрами представляет собой запись бесконечного семейства единичных решений.

Ссылки