Фигура (геометрия)

У этого термина существуют и другие значения, см. Фигура.

Фигу́ра (лат. figura — внешний вид, образ) (англ. shape) — геометрический термин, формально применимый к произвольному множеству точек. Обычно это конечное число точек, линий или поверхностей, в том числе и в единственном числе: точка, линия или поверхность.

Фигуры на плоскости.

Общие определения

Фигу́ра — любое множество точек. Точка — элемент пространства. Пространство — пара множеств:

• множество ${\displaystyle M}$ произвольных элементов;
• некоторая группа ${\displaystyle G}$ преобразований множества ${\displaystyle M}$.

Эквивалентные фигуры. Геометрия группы

Фигура ${\displaystyle A}$ эквивалентна, или равна, фигуре ${\displaystyle B}$, если в группе ${\displaystyle G}$ имеется преобразование, переводящее ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle B}$. Группа преобразований необходима для того, чтобы выполнялись (симметричность) и (транзитивность) свойства эквивалентности фигур, без чего понятие эквивалентности не имеет смысла. Другими словами, использование группы преобразований делает истинными следующие два утверждения:

• если фигура ${\displaystyle A}$ эквивалентна фигуре ${\displaystyle B}$, то тогда и ${\displaystyle B}$ эквивалентна ${\displaystyle A}$, другими словами, ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ эквивалентны;

Доказательство

Пусть фигура ${\displaystyle A}$ эквивалентна фигуре ${\displaystyle B}$, тогда существует преобразование ${\displaystyle g}$ группы ${\displaystyle G}$, переводящее ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle B}$. Поскольку ${\displaystyle G}$ — группа, в ${\displaystyle G}$ существует обратное преобразование ${\displaystyle g^{-1}}$, переводящее ${\displaystyle B}$ в ${\displaystyle A}$, то есть ${\displaystyle B}$ эквивалентна ${\displaystyle A}$.

• если две фигуры ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ эквивалентны третьей ${\displaystyle C}$, то тогда ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ эквивалентны.

Доказательство

Пусть фигура ${\displaystyle A}$ эквивалентна фигуре ${\displaystyle C}$, тогда существует преобразование ${\displaystyle g}$ группы ${\displaystyle G}$, переводящее ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle C}$. И пусть фигура ${\displaystyle B}$ эквивалентна фигуре ${\displaystyle C}$, тогда существует преобразование ${\displaystyle h}$ группы ${\displaystyle G}$, переводящее ${\displaystyle B}$ в ${\displaystyle C}$. Поскольку ${\displaystyle G}$ — группа, в ${\displaystyle G}$ существует обратное преобразование ${\displaystyle h^{-1}}$, переводящее ${\displaystyle C}$ в ${\displaystyle B}$. И поскольку ${\displaystyle G}$ — группа, в ${\displaystyle G}$ существует преобразование ${\displaystyle h^{-1}g}$, которое есть последовательное выполнение ${\displaystyle g}$ и ${\displaystyle h^{-1}}$, переводящее ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle B}$, то есть ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ эквивалентны.

Свойства и арифметические характеристики фигур пространства ${\displaystyle M}$ называются, согласно автору (Эрлангенской программы) Феликсу Клейну, геометрическими, если они не изменяются при любых преобразованиях группы ${\displaystyle G}$, другими словами, если они одинаковы для эквивалентных фигур. Геометрией группы ${\displaystyle G}$ называется система утверждений о геометрических свойствах и арифметических характеристиках фигур.

Группы автоморфизмов

Автоморфным преобразованием, или автоморфизмом, относительно некоторой фигуры ${\displaystyle U}$ произвольного пространства ${\displaystyle M}$ с какой-нибудь группой преобразований ${\displaystyle G}$ называется такое преобразование группы ${\displaystyle G}$, которое переводит в самоё себя (то есть отображает на себя) эту фигуру ${\displaystyle U}$. Автоморфизм перемещает любую точку фигуры ${\displaystyle U}$ снова в некоторую точку этой фигуры, в частности, в ту же самую точку.

Особенности группы преобразований делает истинными следующее утверждение:

• множество всех автоморфизмов данной группы ${\displaystyle G}$ относительно любой фигуры ${\displaystyle U}$ есть группа — подгруппа группы ${\displaystyle G}$.

Доказательство

1. Пусть имеются два любых автоморфизма, то есть любые два преобразования группы ${\displaystyle G}$, отображающие некоторую фигуру ${\displaystyle U}$ на себя. Тогда, поскольку ${\displaystyle G}$ — группа, их последовательное выполнение есть снова преобразование ${\displaystyle G}$, отображающее ${\displaystyle U}$ на себя. Таким образом, последовательное выполнение двух автоморфизмов есть снова автоморфизм.

2. Пусть имеется любой автоморфизм, то есть любое преобразования группы ${\displaystyle G}$, отображающее некоторую фигуру ${\displaystyle U}$ на себя. Тогда, поскольку ${\displaystyle G}$ — группа, обратное преобразование есть снова преобразование ${\displaystyle G}$, причём отображающее ${\displaystyle U}$ на себя. Таким образом, преобразование, обратное автоморфизму, есть снова автоморфизм.

Так как ${\displaystyle G}$ — группа преобразований, этих двух свойств автоморфизмов достаточно для того, чтобы множество всех автоморфизмов данной группы ${\displaystyle G}$ относительно любой фигуры ${\displaystyle U}$ было группой — подгруппой группы ${\displaystyle G}$.

Фигуры на плоскости

Обычно фигурой на плоскости называют замкнутые множества, которые ограничены конечным числом линий. При этом допускаются вырождения, например: угол, луч и точка считаются геометрическими фигурами.

Если все точки фигуры лежат в некоторой плоскости — она называется плоской и она может быть задана уравнением ${\displaystyle g(x,y)=0}$.

Порядок (степень) фигуры — это порядок (степень) уравнения, которым она задана.

Фигуры в (трёхмерном) пространстве

Если Φ — фигура, состоящая из всех точек (трёхмерного) пространства, удовлетворяющих уравнению ${\displaystyle f(x,y,z)=0}$, то данное уравнение — уравнение фигуры, оно задает фигуру Φ.

См. также

• Тело (геометрия)

Примечания

1. Фигура, 1988.
2. Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 158. Геометрия данной группы, с. 409.
3. Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 158. Геометрия данной группы, с. 410.
4. Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 162. Группы автоморфизмов, с. 414—415.
5. Ефимов Н. В. Высшая геометрия, 2004, 162. Группы автоморфизмов, с. 415.
6. Милованов М. В., Тышкевич Р. И., Феденко А. С. Часть 1 // Алгебра и аналитическая геометрия. — Минск: Вышэйшая школа, 1984. — С. 221. — 305 с.

Источники

• Ефимов Н. В. Высшая геометрия. 7-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 584 с. .
• Фигура // (Математический энциклопедический словарь) / Гл. ред. (Ю. В. Прохоров). Ред. кол.: (С. И. Адян), (Н. С. Бахвалов), В. И. Битюцков, (А. П. Ершов), (Л. Д. Кудрявцев), (А. Л. Онищик), (А. П. Юшкевич). М.: Сов. энциклопедия, 1988. 847 с. С. 607.