Характеристи́ческая фу́нкция случа́йной величины́ — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости (сходимости по распределению). В теорию характеристических функций внесли большой вклад Ю. В. Линник, И. В. Островский, К. Р. Рао, Б. Рамачандран.
Определение
Пусть есть случайная величина с распределением
. Тогда характеристическая функция задаётся формулой:
.
Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение характеристической функции можно переписать в виде:
,
то есть характеристическая функция — это обратное преобразование Фурье распределения случайной величины.
Если случайная величина принимает значения в произвольном гильбертовом пространстве
, то её характеристическая функция имеет вид:
,
где обозначает скалярное произведение в
.
Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины
Если случайная величина (дискретна), то есть
, то
.
Пример. Пусть имеет распределение Бернулли. Тогда
.
Если случайная величина (абсолютно непрерывна), то есть она имеет плотность
, то
.
Пример. Пусть имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда
.
Свойства характеристических функций
- Характеристическая функция однозначно определяет распределение. Пусть
есть две случайные величины, и
. Тогда
. В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение функций вероятности.
- Характеристическая функция всегда ограничена:
.
- Характеристическая функция в нуле равна единице:
.
- Характеристическая функция всегда равномерно непрерывна:
.
- Характеристическая функция как функция случайной величины однородна:
.
- Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций. Пусть
суть независимые случайные величины. Обозначим
. Тогда
.
- Характеристическая функция эрмитова: для всех вещественных
верно равенство
, где
означает комплексно сопряжённую с
функцию.
- Теорема обращения (Леви). Пусть
— функция распределения, а
— её характеристическая функция. Если
и
— точки непрерывности
, то
- Характеристическая функция положительно определена: при каждом целом
для любых вещественных чисел
и любых комплексных чисел
выполняется неравенство
. Здесь
означает комплексно сопряжённое к
число.
Вычисление моментов
Если случайная величина имеет начальный
-й момент, то характеристическая функция имеет непрерывную
-ю производную, то есть
, и более того:
.
Обратное преобразование Фурье
Пусть дана случайная величина , чья характеристическая функция равна
. Тогда
- если
дискретна и принимает целые значения, то
;
- если
абсолютно непрерывна, и
— её плотность, то
.
Достаточные условия
Чтобы функция была характеристической функцией какой-то случайной величины, достаточно, чтобы
была неотрицательной, чётной, непрерывной, выпуклой вниз функцией,
и
при
(теорема Титчмарша — Пойи).
Необходимые и достаточные условия
Пусть — непрерывная функция
и
. Для того, чтобы функция
была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она была положительно определённой функцией, то есть при каждом целом
для любых вещественных чисел
и любых комплексных чисел
выполняется неравенство
((Теорема Бохнера — Хинчина)). Здесь
означает комплексно сопряжённое к
число.
См. также
- (Теорема Леви о непрерывности) (метод характеристических функций).
- (Прямая и обратная предельная теорема)
- Теорема Титчмарша — Пойи
- (Теорема Бохнера — Хинчина)
Примечания
- Б. Рамачандран Теория характеристических функций, М., Наука, 1975
- Королюк В. С., Портенко Н. И., Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М., Наука, 1985. — с. 65
Литература
- Линник Ю. В., Островский И. В. Разложения случайных величин и векторов, Наука, М., 1972.
- Лукач Е. Характеристические функции. — М., Наука, 1979. — 424 с.
Для улучшения этой статьи :
|