Эксцентрисите́т — числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности. Обычно обозначается или .
Эксцентриситет инвариантен относительно движений плоскости и преобразований подобия.
Определение
Все невырожденные конические сечения, кроме окружности, можно описать следующим способом: выберем на плоскости точку и прямую и зададим вещественное число ; тогда (геометрическое место точек) , для которых отношение расстояний до точки и до прямой равно , является коническим сечением; то есть, если есть (проекция) на , то
- .
Это число называется эксцентриситетом конического сечения. Эксцентриситет окружности по определению равен 0.
Связанные определения
- Точка называется фокусом конического сечения.
- Прямая называется директрисой.
Коническое сечение в (полярных координатах)
Коническое сечение, один из фокусов которого находится в полюсе, задаётся в полярных координатах уравнением:
- ,
где — эксцентриситет, а — другой постоянный параметр (так называемый фокальный параметр).
Легко показать, что это уравнение эквивалентно определению, данному выше. В сущности, оно может быть использовано в качестве альтернативного определения эксцентриситета, быть может, менее фундаментального, но удобного с аналитической и прикладной точек зрения; в частности, из него хорошо видна роль эксцентриситета в классификации конических сечений и определённым образом дополнительно проясняется его геометрический смысл.
Свойства
- В зависимости от эксцентриситета, получится:
- при — (гипербола). Чем больше эксцентриситет гиперболы, тем больше две её ветви похожи на параллельные прямые линии;
- при — (парабола);
- при — эллипс;
- для окружности полагают .
- Эксцентриситет эллипса и гиперболы равен отношению расстояния от фокуса до центра к большой полуоси. Это свойство иногда принимают за определение эксцентриситета. В прежние времена (например, в 1787 году) на большую полуось не делили — эксцентриситетом эллипса называли расстояние от фокуса до центра.
- Эксцентриситет эллипса может быть также выражен через отношение малой () и большой () полуосей:
- .
- Эксцентриситет гиперболы может быть выражен через отношение мнимой () и действительной () полуосей:
- .
- Эксцентриситет равносторонней гиперболы, являющейся графиком обратной пропорциональности и задаваемой уравнением , равен .
- Для эллипса также может быть выражен через отношение радиусов пери- () и апоцентров ():
- .
См. также
- Эксцентриситет орбиты
- (Коническая константа)
Примечания
- John Bonnycastle. An Introduction to Astronomy. — London, 1787. — С. 90.
- The Oxford English Dictionary (англ.). — 2nd ed. — Oxford: Oxford University Press, 1989. — Vol. V. — P. 50.
Литература
- Акопян А. В., Заславский А. А. Геометрические свойства кривых второго порядка. — М.: (МЦНМО), 2007. — 136 с.
Ссылки
- «Эксцентриситет» — статья в (Малой советской энциклопедии); 2 издание; 1937—1947 гг.
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер