Эллипсограф

Эллипсограф или Сеть Архимеда — это механизм, который способен преобразовывать возвратно-поступательное движение в эллипсоидное.

Кинематика эллипсографа

Эллипсограф в действии.

Общая информация

Эллипсограф состоит из двух ползунов, которые могут двигаться по двум перпендикулярным канавкам или направляющим. Ползуны прикреплены к стержню посредством шарниров, и находятся на фиксированном расстоянии друг от друга вдоль стержня. Ползуны движутся вперёд и назад — каждый по своей канавке, — и конец стержня описывает эллипс на плоскости. Полуоси эллипса a и b представляют собой расстояния от конца стержня до шарниров на ползунах. Обычно расстояния a и b можно варьировать, и тем самым менять форму и размеры описываемого эллипса.

В более общем случае направляющие, по которым движутся ползуны, могут быть не перпендикулярны друг другу, и точки A, B и C могут образовывать треугольник. Результирующая траектория точки C останется эллипсом.

Этот механизм применяется в качестве чертёжного инструмента, а также для разрезания стекла, картона, фанеры и других листовых материалов.

История этого механизма точно не определена, но считается, что эллипсографы существовали ещё во времена Диадоха или даже во времена Архимеда.

Математическое описание

Геометрические построения к математическому описанию эллипсографа

Пусть C — это конец стержня, и A, B — шарниры на ползунах. Пусть p и q — расстояния от A до B, и от B до C, соответственно. Координатные оси y и x проведём таким образом, что движение ползунов A и B будет происходить вдоль этих осей, соответственно. Когда стержень образует угол θ с осью x, координаты точки C определяются уравнениями

${\displaystyle x=(p+q)\cos \theta }$

${\displaystyle y=q\sin \theta }$

Эти уравнения представляют собой параметрические уравнения эллипса. Нетрудно вывести и уравнение получающегося эллипса в декартовой системе координат.

См. также

• Шарнирные методы построения лемнискаты Бернулли

Примечания

1. Schwartzman, Steven. The Words of Mathematics (неопр.). — The Mathematical Association of America, 1996. — . (restricted online copy в «Книгах Google»)
2. Wetzel, John E. An Ancient Elliptic Locus (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 2010. — February (vol. 117, no. 2). — P. 161—167.
3. Бронштейн И. Н. Эллипс // Квант. — 1970. — № 9. — С. 32. 23 июня 2014 года.

Литература

• J. W. Downs: Practical Conic Sections: The Geometric Properties of Ellipses, Parabolas and Hyperbolas. Courier Dover 2003, , p. 4-5

Ссылки

• Вырезая эллипс на дереве
• Фотографии игрушек на основе эллипсографа
• Видео игрушек, сделанных из кирпичиков «Лего»