Q-аналог теоремы, тождества или выражения — это обобщение, вовлекающее новый параметр q, возвращающий исходную теорему, тождество или выражение в пределе при q → 1. Обычно математики интересуются q-аналогами, появляющимися естественным образом, а не выдумывают произвольные q-аналоги для известных результатов. Наиболее ранним q-аналогом являются [англ.], которые изучались в XIX веке.
Q-аналоги чаще всего используются в комбинаторике и в теории специальных функций. В этих условиях предел q → 1 часто формален, так как q часто дискретен (например, он может представлять степень простого числа). Q-аналоги находят применение во многих областях, включая такие как изучение фракталов и мультифрактальных мер, и для выражения энтропии хаотических динамических систем. Связь с фракталами и динамическими системами возникает из факта, что многие фрактальные объекты имеют симметрии фуксовых групп в общем (см., например, статьи [англ.] и «Сетка Аполлония») и модулярной группы в частности. Связь проходит через гиперболическую геометрию и (эргодическую теорию), где (эллиптические интегралы) и (модулярные формы) играют главную роль. Сами [англ.] тесно связаны с эллиптическими интегралами.
Q-аналоги появляются при изучении (квантовых групп) и в q-возмущённых [англ.]. Связь здесь похожа на то, как теория струн строится на языке (римановых поверхностей), что приводит к связи с эллиптическими кривыми, которые, в свою очередь, связаны с [англ.].
«Классическая» q-теория
Классическая q-теория начинается с q-аналогов для неотрицательных целых чисел. Равенство
предполагает, что мы определяем q-аналог числа n, известный как q-скобка или q-число числа n, равным
Выбор среди прочих возможностей конкретно этого q-аналога не имеет определённой причины, однако аналог возникает естественным образом в нескольких контекстах. Например, если решаем использовать обозначение [n]q для q-аналога числа n, можно определить q-аналог факториала, который известен как q-факториал, следующим образом
Этот q-аналог появляется естественным образом в нескольких контекстах. Что примечательно, в то время как n! подсчитывает число перестановок длины n, [n]q! подсчитывает перестановки с учётом числа [англ.]. То есть, если inv(w) означает число инверсий перестановки w, а Sn — множество перестановок длины n, мы имеем
В частности, можно получить привычный факториал путём перехода к пределу .
Q-факториал имеет также краткое определение в терминах q-символа Похгаммера, базового строительного блока всех q-теорий:
От q-факториалов можно перейти к q-биномиальным коэффициентам, известным также как гауссовы коэффициенты, гауссовы многочлены или (гауссовы биномиальные коэффициенты):
[англ.] определяется как
Тригонометрические q-функции, вместе с q-преобразованием Фурье, определяются в этом же контексте.
Q-аналоги в комбинаторике
Гауссовы коэффициенты подсчитывают подпространства конечного векторного пространства. Пусть q — число элементов (конечного поля) (Число q тогда равно степени простого числа, q = pe, так что использование буквы q целесообразно). Тогда число k-мерных подпространств n-мерного векторного пространства над полем с q элементами равно
При стремлении q к 1 мы получаем биномиальный коэффициент
или, другими словами, число k-элементных подмножеств множества с n элементами.
Таким образом, можно рассматривать конечное векторное пространство как q-обобщение множества, а подпространства как q-обобщение подмножеств этого множества. Это плодотворная точка зрения для поиска интересных теорем. Например, имеются q-аналоги [англ.] и (теории Рамсея).
q → 1
Обратно разрешению менять q и рассмотрению q-аналогов как отклонений можно рассматривать комбинаторный случай q = 1 как предел q-аналогов q → 1 (часто невозможно просто подставить q = 1 в формулу, так что приходится брать предел).
Это можно формализовать в [англ.], где комбинаторика представляется как линейная алгебра над полем с одним элементом. Например, (группы Вейля) являются просто алгебраическими группами над полем с одним элементом.
Применение в физике
Q-аналоги часто обнаруживаются в точных решениях задач многих тел. В таких случаях предел при q → 1 соответствует относительно простой динамике, то есть без нелинейных возмущений, в то время как q < 1 даёт возможность взглянуть на сложный нелинейный режим с обратной связью.
Примером из атомной физики является модель создания молекулярного конденсата из ультрахолодного фермионного газа в условиях выметания внешнего магнитного поля с помощью резонанса Фешбаха. Этот процесс описывается моделью с q-возмущённой версией алгебры операторов SU(2) и решение описывается q-возмущёнными показательными и биномиальными распределениями.
См. также
- [англ.]
- (Числа Стирлинга)
- (Диаграмма Юнга)
Примечания
- Exton, 1983.
- Ernst, 2003, с. 487–525.
- Sun, Sinitsyn, 2016, с. 033808.
Литература
- Exton H. q-Hypergeometric Functions and Applications. — New York: Halstead Press, 1983. — . — . — .
- Thomas Ernst. A Method for q-calculus // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. — 2003. — Т. 10, вып. 4. — С. 487–525.
- Sun C., Sinitsyn N. A. Landau-Zener extension of the Tavis-Cummings model: Structure of the solution // . — 2016. — Т. 94, вып. 3. — doi:10.1103/PhysRevA.94.033808. — .
Ссылки
- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Umbral calculus", Encyclopedia of Mathematics, , ISBN
- q-analog from (MathWorld)
- q-bracket from (MathWorld)
- q-factorial from (MathWorld)
- q-binomial coefficient from (MathWorld)
Для улучшения этой статьи :
|
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер