Область определения — множество, на котором задаётся функция. В каждой точке этого множества значение функции должно быть определено.
![image](https://www.wikidata.ru-ru.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEucnUtcnUubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODBMelJoTDFOeGRXRnlaVjl5YjI5MFh6QmZNalV1YzNabkx6TXdNSEI0TFZOeGRXRnlaVjl5YjI5MFh6QmZNalV1YzNabkxuQnVadz09LnBuZw==.png)
Определение
Если на множестве задана функция, которая отображает множество
в другое множество, то множество
называется областью определения или областью задания функции.
Более формально, если задана функция , которая отображает множество
в
, то есть:
, то множество
называется областью определения или областью задания функции
и обозначается
или
(от англ. domain — «область»).
Иногда рассматриваются и функции, определённые на подмножестве некоторого множества
. В этом случае множество
называется областью отправления функции
.
Примеры
Наиболее наглядные примеры областей определения доставляют числовые функции. Мера и функционал также доставляют важные в приложениях виды областей определения.
Числовые функции
Числовые функции — это функции, относящиеся к следующим двум классам:
- вещественнозначные функции вещественного переменного — это функции вида
;
- а также комплекснозначные функции комплексного переменного вида
,
где и
— множества вещественных и комплексных чисел соответственно.
Тождественное отображение
Область определения функции совпадает с областью отправления (
или
).
(Гармоническая функция)
Область определения функции представляет собой комплексную плоскость без нуля:
,
поскольку формула не задаёт значение функции в нуле каким-нибудь числом.
Дробно-рациональные функции
Область определения функции вида
представляет собой вещественную прямую или комплексную плоскость за исключением конечного числа точек, которые являются решениями уравнения
.
Эти точки называются полюсами функции .
Так, функция определена во всех точках, где (знаменатель) не обращается в ноль, то есть, где
. Таким образом
является множеством всех действительных (или комплексных) чисел кроме 2 и −2.
Мера
Если каждая точка области определения функции — это некоторое множество, например, подмножество заданного множества, то говорят, задана функция множества.
Мера — пример такой функции, где в качестве области определения функции (меры) выступает некоторая совокупность подмножеств заданного множества, являющееся, например, кольцом или полукольцом множеств.
Например, определённый интеграл представляет собой функцию ориентированного промежутка.
Функционал
Пусть — семейство отображений из множества
в множество
. Тогда можно определить отображение вида
. Такое отображение называется функционалом.
Если, например, фиксировать некоторую точку , то можно определить функцию
, которая принимает в «точке»
то же значение, что и сама функция
в точке
.
См. также
- (Область значений функции)
Примечания
- В. А. Садовничий. Теория операторов. — М.: Дрофа, 2001. — С. 10. — 381 с. — .
- В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Глава 3. Теория пределов // Математический анализ / Под ред. (А. Н. Тихонова). — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: Проспект, 2006. — Т. 1. — С. 105—121. — 672 с. — . 23 июня 2015 года.
- В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ. Часть I. — четвертое, исправленное. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 12—14. — 664 с. — .
Литература
- Функция, (математический энциклопедический словарь). — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
- Клейн Ф. Общее понятие функции. В кн.: Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1. М.-Л., 1933
- , Л. Л. Максимова. Часть I. Теория множеств // Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 3-е изд.. — М.: Физматлит, 1995. — С. 13—21. — 256 с. — .
- А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Глава 1.. Элементы теории множеств // Элементы теории функций и функционального анализа. — 3-е изд.. — М.: Наука, 1972. — С. 14—18. — 256 с.
- . Глава 0. Предварительные сведения // Общая топология. — 2-е изд.. — М.: Наука, 1981. — С. 19—27. — 423 с.
- В. А. Зорич. Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения. § 3. Функция // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 23—36. — 544 с.
- Г. Е. Шилов. Глава 2. Элементы теории множеств. § 2.8. Общее понятие функции. График // Математический анализ (функции одного переменного). — М.: Наука, 1969. — С. 65—69. — 528 с.
- (А. Н. Колмогоров). Что такое функция // («Квант») : науч.-поп. физ.-мат. журн. — М.: «Наука», 1970. — № 1. — С. 27—36. — ISSN 0130-2221.
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер