Ассоциати́вность (сочетательность) — свойство бинарной операции , заключающееся в возможности осуществлять последовательное применение формулы в произвольном порядке к элементам .
Термин ввёл Уильям Гамильтон в (1853 году).
Поскольку для ассоциативных операций результат выражения не зависит от порядка применения, скобки при записи опускаются. Для неассоциативной операции выражение при не определено без дополнительных соглашений о порядке применения.
Примеры ассоциативных операций:
- сложение комплексных чисел:
- умножение комплексных чисел:
- (композиция функций):
Примером неассоциативной операции является возведение в степень — результат выражения напрямую зависит от расстановки скобок, в общем случае .
Не всякая коммутативная операция ассоциативна — существуют [англ.] с неассоциативной.
Ассоциативность играет важную роль в общей алгебре: в большинстве рассматриваемых структур бинарные операции ассоциативны (группы, кольца, поля, (полурешётки) и (решётки)). Теория (полугрупп) фактически исследует феномен ассоциативности общеалгебраическими методами. При этом особо рассматриваются и неассоциативные системы, а именно: (квазигруппы), (лупы), неассоциативные кольца, [англ.]. Их изучение осложнено тем, что многие свойства ассоциативных систем для них не имеют места. Иногда проблемы переносимости свойств на неассоциативные структуры оказываются нетрививиальными (например, (открыт) вопрос о выполнении (теоремы Лагранжа) для конечных луп).
В информатике ассоциативность считается полезным свойством, в частности, позволяющим задействовать параллелизм для последовательных применений операции. В то же время многие практические операции (сложение и умножение при работе с (числами с плавающей запятой)) оказываются неассоциативными.
Свойство естественным образом обобщается на -арный случай: операция называется ассоциативной, если для всех имеет место тождество:
- .
Ослабленные варианты свойства ассоциативности — (степенная ассоциативность), (альтернативность), [англ.] — в них изменение очерёдности последовательного применения возможно только для ограниченного набора случаев.
Литература
- Ассоциативность — статья из Математической энциклопедии. О. А. Иванова, Д. М. Смирнов
- (Шеврин Л. Н.) Глава IV. Полугруппы // Общая алгебра / Под общ. ред. (Л. А. Скорнякова). — М.: Наука, 1991. — Т. 2. — С. 11—191. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — .
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер