База топологии

База топологии (база топологического пространства, базис топологии, открытая база) — семейство открытых подмножеств топологического пространства ${\displaystyle X}$, такое, что любое открытое множество в ${\displaystyle X}$ представимо в виде объединения элементов этого семейства.

Часто базу топологии предъявляют для того, чтобы ввести топологию. Например, на метрическом пространстве топология определяется через базу, образованную всеми открытыми шарами.

Определение

Семейство ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ открытых множеств топологического пространства ${\displaystyle X}$ называется базой топологии (или топологического пространства), если любое открытое множество из ${\displaystyle X}$ представимо в виде объединения элементов семейства ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$.

Семейство ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ открытых множеств топологического пространства ${\displaystyle X}$ является базой, тогда и только тогда, когда для каждой точки ${\displaystyle x}$ пространства ${\displaystyle X}$ и её окрестности ${\displaystyle U}$ найдётся множество ${\displaystyle V}$ из ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ такое, что ${\displaystyle x\in V\subset U}$.

Вес топологического пространства

Минимальная из мощностей всех баз пространства ${\displaystyle X}$ называется весом топологического пространства ${\displaystyle X}$. Вес пространства ${\displaystyle X}$ обычно обозначается ${\displaystyle w(X)}$.

Свойства

• Для каждой базы ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ существует подмножество ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{0}}$, являющееся базой и имеющее мощность, равную весу пространства.
• Если вес пространства ${\displaystyle X}$ не более, чем счетный (то есть ${\displaystyle X}$ имеет счётную базу), то ${\displaystyle X}$ называют пространством со (второй аксиомой счетности).
• В пространстве веса ${\displaystyle \tau }$ существует всюду (плотное множество) мощности ${\displaystyle \leqslant \tau }$.

Вариации и обобщения

• Локальная база пространства ${\displaystyle X}$ в точке ${\displaystyle x\in X}$ (база точки ${\displaystyle x}$) — семейство ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(x)}$ окрестностей точки ${\displaystyle x}$ со свойством: для любой окрестности ${\displaystyle O_{x}}$ точки ${\displaystyle x}$ найдется элемент ${\displaystyle V\in {\mathfrak {B}}(x)}$ такой, что ${\displaystyle x\in V\subset O_{x}}$.
  • Минимум мощностей всех локальных баз пространства ${\displaystyle X}$ в точке ${\displaystyle x\in X}$ называется характером пространства ${\displaystyle X}$ в точке ${\displaystyle x}$ и обозначается ${\displaystyle \chi (x,X)}$.
  • (Супремум) характеров пространства ${\displaystyle X}$ во всех точках ${\displaystyle x\in X}$ называется характером пространства ${\displaystyle X}$ и обозначается ${\displaystyle \chi (X)}$.
  • Пространства, имеющие счетную локальную базу в каждой точке, называются пространствами с (первой аксиомой счетности).
  • Семейство ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ открытых в X множеств является базой тогда и только тогда, когда для каждой точки ${\displaystyle x\in X}$ подсемейство ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(x)}$ всех элементов ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, содержащих точку ${\displaystyle x}$ является локальной базой точки ${\displaystyle x}$.
• Система окрестностей — это семейство ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}(x)\}_{x\in X}}$, такое, что ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(x)}$ является локальной базой пространства ${\displaystyle X}$ в точке ${\displaystyle x}$ для каждого ${\displaystyle x\in X}$.
• Предбаза — семейство ${\displaystyle Y}$ открытых подмножеств топологического пространства ${\displaystyle X}$ такое, что совокупность всех множеств, являющихся пересечением конечного числа элементов ${\displaystyle Y}$, образует базу пространства ${\displaystyle X}$.
• Замкнутая база — семейство всех дополнений к элементам некоторой базы.
• ${\displaystyle \pi }$-база (решёточная база) — семейство ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ непустых открытых подмножеств пространства ${\displaystyle X}$ такое, что всякое непустое открытое в ${\displaystyle X}$ множество содержит множество из ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, то есть ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ плотно по Хаусдорфу в пространстве ${\displaystyle X}$. Любая база есть ${\displaystyle \pi }$-база. Обратное неверно, например, в (компактификации Стоуна — Чеха) ${\displaystyle \beta \mathbb {N} }$ множества натуральных чисел семейство одноточечных подмножеств множества ${\displaystyle \mathbb {N} }$ является ${\displaystyle \pi }$-базой, но не является базой.
• Псевдобаза — такое семейство открытых подмножеств, что пересечение всех его элементов, содержащих фиксированную точку, совпадает с этой точкой. Существует только в T₁-пространствах. Пример пространства со счётной псевдобазой, в котором нет счётной базы — пространство последовательностей нулей и единиц с дискретной топологией (псевдобаза — множества, состоящие из всех последовательностей с фиксированным значением на некоторой позиции).

Задание топологии с помощью базы, предбазы и системы окрестностей

• Семейство ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ подмножеств произвольного множества ${\displaystyle X}$ является базой некоторой топологии на ${\displaystyle X}$ в том, и только в том случае, когда ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ удовлетворяет следующим условиям:

1. Каждая точка ${\displaystyle x\in X}$ принадлежит некоторому множеству ${\displaystyle U}$ из семейства ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$.
2. Для любых множеств ${\displaystyle U,V\in {\mathfrak {B}}}$ и точки ${\displaystyle x\in U\cap V}$ существует множество ${\displaystyle W\in {\mathfrak {B}}}$ такое, что ${\displaystyle x\in W\subset U\cap V}$.

В этом случае ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ является базой топологии на ${\displaystyle X}$, в которой множества открыты тогда и только тогда, когда они представимы в виде объединения некоторых подмножеств из ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$. Такую топологию называют топологией, порождённой базой ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$.

• Для того, чтобы семейство ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ подмножеств произвольного множества ${\displaystyle X}$ было предбазой некоторой топологии на ${\displaystyle X}$ необходимо и достаточно выполнение вышеуказанного условия 1. При этом в этой топологии открыты те и только те множества, которые представимы в виде объединения конечных пересечений некоторых подмножеств из ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$. Такую топологию называют топологией, порождённой предбазой ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$. Это наименьшая топология, содержащая семейство ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$.

• Совокупность ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}(x)\}_{x\in X}}$ семейств подмножеств произвольного множества ${\displaystyle X}$ является системой окрестностей некоторой топологии на ${\displaystyle X}$ тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующим условиям:

1. Для каждого ${\displaystyle x\in X}$ семейство ${\displaystyle {\mathfrak {B}}(x)}$ непусто и ${\displaystyle x\in U}$ для любого ${\displaystyle U\in {\mathfrak {B}}(x)}$.
2. Для всякого ${\displaystyle y\in U\in {\mathfrak {B}}(x)}$ найдётся ${\displaystyle V\in {\mathfrak {B}}(y)}$ такое, что ${\displaystyle V\subset U}$.
3. Для всяких множеств ${\displaystyle V,W\in {\mathfrak {B}}(x)}$ существует ${\displaystyle U\in {\mathfrak {B}}(x)}$, такое, что ${\displaystyle U\subset V\cap W}$.

В этом случае ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}(x)\}_{x\in X}}$ является системой окрестностей топологии на ${\displaystyle X}$, состоящей из всех подмножеств, представимых в виде объединения подсемейств семейства ${\displaystyle \bigcup _{x\in X}{\mathfrak {B}}(x)}$. Такую топологию называют топологией, порождённой системой окрестностей ${\displaystyle \{{\mathfrak {B}}(x)\}_{x\in X}}$.

Примеры

• Базой любого топологического пространства является семейство всех его открытых множеств.
• Дискретная топология имеет в качестве базы семейство всех его (одноточечных) подмножеств.
• Если ${\displaystyle X}$ и ${\displaystyle Y}$ — топологические пространства с базами топологий ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{X}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{Y}}$, тогда топология на декартовом произведении ${\displaystyle X\times Y}$ задаётся с помощью базы

${\displaystyle {\mathfrak {B}}_{X\times Y}=\{U\times V\,:U\in {\mathfrak {B}}_{X},\,V\in {\mathfrak {B}}_{Y}\}}$
При этом топология на ${\displaystyle X\times Y}$ не будет зависеть от того, какие базы пространств X и Y используются для её задания. Такая топология называется (стандартной) топологией декартова произведения топологических пространств.

• Топология пространства действительных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ задаётся системой всех интервалов ${\displaystyle (a,b)}$, которая составляет базу этой топологии. Аналогично топология пространства ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$ задаётся базой открытых брусов ${\displaystyle (a_{1},b_{1})\times (a_{2},b_{2})\times \dots \times (a_{n},b_{n})}$, и эта топология, очевидно, совпадает со стандартной топологией прямого произведения пространств.
• обычно определяется как топология порождённая набором открыто-интервальных множеств.
• (Метрическая топология) обычно определяется как топология порождённая набором (открытых шаров), задаваемых определенной метрикой.

См. также

• Теорема Есенина-Вольпина
• Склеивающая аксиома
• Нижняя часть базы

Литература

• Александров П. С., Колмогоров А. Н. Введение в общую теорию множеств и функций. — М.—Л., 1948.
• Урысон П. С. Труды по топологии и другим областям математики. — Т. 1—2. — М.—Л., 1951.
• Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. — М., 1973.
• Архангельский А. В., Пономарев В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. — М., 1974.
• Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры / Пер. с франц. — М., 1968.
• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.

Ссылки

• База топологии — статья из Математической энциклопедии. А. А. Мальцев