Множество всех подмножеств (булеан, показательное множество) — множество, состоящее из всех подмножеств данного множества (включая пустое множество и само множество ); обозначается или (так как оно соответствует множеству отображений из в ).
Если два множества равномощны, то равномощны и соответствующие множества всех подмножеств. Обратное утверждение (то есть инъективность операции для кардиналов) является (независимым) от (ZFC).
В (категории множеств) можно снабдить функцию структурой (ковариантного) или (контравариантного) функтора следующим образом:
- ковариантный функтор отображает функцию в функцию такую, что она отображает в (образ) относительно ;
- контравариантный функтор отображает функцию в такую, что она отображает в полный (прообраз) относительно .
Мощность конечного множества подмножеств
Справедливо следующее утверждение: число подмножеств конечного множества, состоящего из элементов, равно . Результат доказывается методом математической индукции. База индукции: у пустого множества () только одно подмножество — оно само, и . Шаг индукции: пусть утверждение установлено для множеств мощности . Рассмотрим произвольное множество с кардинальным числом . Если зафиксировать некоторый элемент , подмножества множества разделяются на два семейства:
- , элементы которого содержат ,
- , элементы которого не содержат , то есть являются подмножествами множества .
Подмножеств второго типа по предположению индукции , однако подмножеств первого типа ровно столько же. С одной стороны, из каждого подмножества второго типа можно получить подмножество первого типа добавлением элемента . С другой стороны, из каждого подмножества первого типа можно получить подмножество второго типа удалением элемента . Следовательно,
- и .
По индукционному предположению и , то есть:
- .
См. также
- (Аксиома множества подмножеств)
- (Теорема Кантора)
- (Континуум-гипотеза)
Примечания
Литература
- (Брудно А. Л.) Теория функций действительного переменного. — М.: Наука, 1971. — 119 с.
Для улучшения этой статьи :
|
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер