Дискретизация

Дискретиза́ция (от лат. discretio — «различать», «распознавать») — в общем случае — представление непрерывной функции дискретной совокупностью её значений при разных наборах аргументов. Для функции переменной ${\displaystyle f(x)}$ — представление её множеством ${\displaystyle n}$ её значений ${\displaystyle f(x_{0}),f(x_{1}),...f(x_{n-1})}$ на заданном дискретном множестве значений аргумента ${\displaystyle x_{0},x_{1},...x_{n-1}}$.

Дискретизация непрерывного аналогового сигнала. Выборки изображены точками на кривой. Период дискретизации обозначен ${\displaystyle T}$.

См. также: Дискретность

В обработке сигналов — представление аналогового непрерывного сигнала ${\displaystyle S(t)}$ совокупностью его значений, эту совокупность принято называть выборками ${\displaystyle S(t_{0}),S(t_{1}),...S(t_{n-1})}$, взятых в моменты времени ${\displaystyle t_{0},t_{1},...t_{n-1}}$.

В общем случае период времени от одной выборки до следующей может различаться для каждой пары соседних выборок, но обычно при обработке сигнала, выборки следуют через фиксированный и постоянный промежуток времени. Этот промежуток в таком случае называют периодом дискретизации или интервалом выборок и обычно обозначается буквой ${\displaystyle T}$. Величину обратную периоду дискретизации ${\displaystyle F_{s}=1/T}$ называют частотой выборок или (частотой дискретизации).

Примерами аналогового сигнала могут служить аудио- или видеосигналы, сигналы различных измерительных датчиков и др. Для последующей цифровой обработки аналоговые непрерывные сигналы обязательно предварительно подвергаются дискретизации и квантованию по уровню с помощью (аналого-цифровых преобразователей).

Обратный процесс получения непрерывного аналогового сигнала, заданного дискретной совокупностью его выборок, называется восстановлением. Восстановление производится (цифро-аналоговыми преобразователями).

Теория

Дискретизация гребёнкой Дирака

В математических терминах — дискретизация это умножение непрерывной функции ${\displaystyle s(t)}$ на функцию, называемую (гребень Дирака) ${\displaystyle \Delta _{T}(t)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{k=-\infty }^{\infty }\delta (t-kT)}$ где ${\displaystyle T}$ — константа — период дискретизации и ${\displaystyle \delta (t)}$ — (дельта-функция Дирака):

${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)=s(t)\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT).}$

Преобразование Фурье дискретной функции ${\displaystyle s_{\mathrm {a} }(t)}$ даёт её спектр ${\displaystyle S_{\mathrm {a} }(f)}$. Согласно (теореме Котельникова), если спектр ${\displaystyle S(f)}$ исходной функции ограничен, то есть (спектральная плотность) нулевая свыше некоторой частоты ${\displaystyle f_{max}}$, то исходная функция однозначно восстановима по совокупности её выборок, взятых с частотой дискретизации ${\displaystyle 1/T\geq 2f_{max}}$.

Для абсолютно точного восстановления необходимо подать на вход идеального (фильтра нижних частот) последовательность бесконечно коротких импульсов каждый с площадью равной значению выборки.

Практически невозможно идеально точно восстановить реальные сигналы по выборкам, так как во-первых, не существует сигналов с ограниченным спектром, ибо реальные сигналы ограничены во времени, что обязательно даёт спектр бесконечной ширины. Во-вторых, физически нереализуем идеальный фильтр низких частот ((sinc-фильтр)), в третьих, невозможны бесконечно короткие импульсы с конечной площадью.

Применение

Все сигналы в природе по сути аналоговые. Для цифровой обработки сигнала, хранения его и передачи в цифровом виде аналоговые сигналы предварительно оцифровываются. Оцифровка включает дискретизацию и квантование по уровню, производимую с помощью АЦП. После цифровой обработки, передачи, хранения цифровых данных, кодирующих сигнал, часто необходимо обратное преобразование цифрового образа сигнала в аналоговый сигнал. Например, звуковоспроизведение аудиозаписей с компакт-диска.

Также дискретизация применяется в системах аналоговой импульсной модуляции.

Практически восстановление аналогового сигнала по совокупности выборок производится с той или иной степенью точности, причём точность восстановления тем выше, чем выше частота дискретизации и число уровней квантования каждой выборки. Но чем больше частота дискретизации и число уровней квантования, тем больше требуется ресурсов для обработки, хранения, передачи оцифрованных данных. Поэтому частоту дискретизации и разрядность АЦП практически выбирают исходя из разумного компромисса.

Например, при цифровой передаче голоса для хорошей разборчивости речи достаточна частота дискретизации 8 кГц.

Высококачественное воспроизведение музыкальных произведений с компакт-дисков (CD) в современном стандарте производится с частотой дискретизации 44,1 кГц (CD), 48 кГц, 88,2 кГц или 96 кГц, что обеспечивает высококачественное воспроизведение звука во всей полосе слышимых частот 20 Гц — 20 кГц.

Оцифровка телевизионного видеосигнала с полосой частот 6 МГц производится с частотой дискретизации свыше 10 МГц.

См. также

• (Частота дискретизации)
• Цифровой сигнал
• (Квантование (обработка сигналов))
• (Аналого-цифровой преобразователь)
• (Цифро-аналоговый преобразователь)

Примечания

1. Преобразование непрерывного информационного множества аналоговых сигналов в дискретное множество называется дискретизацией или (квантованием) по уровню (ср. «Квантование по времени»). Квантование по уровню широко используется в цифровых автоматах. При квантовании по уровню производится отображение всевозможных значений величины ${\displaystyle x}$ на дискретную область, состоящую из величин ${\displaystyle {\overset {-}{x}}}$ уровня квантования.

   — Самофалов К. Г., Романкевич А. М., Валуйский В. Н., Каневский Ю. С., Пиневич М. М. 1.3 Дискретизация информации // Прикладная теория цифровых автоматов. — Киев: Вища школа, 1987. — 375 с.

2. MT-001: Taking the Mystery out of the Infamous Formula, "SNR=6.02N + 1.76dB," and Why You Should Care  (неопр.). Дата обращения: 24 января 2020. 16 июня 2011 года.
3. Словарь по кибернетике, стр. 168 / Под редакцией В. С. Михалевича. — 2-е издание — Киев: 1989. — 751 с.,

Литература

• Самофалов К. Г., Романкевич А. М., Валуйский В. Н., Каневский Ю. С., Пиневич М. М. Прикладная теория цифровых автоматов. — Киев: Вища школа, 1987. — 375 с.

Ссылки

• Квантование сигнала — статья из Большой советской энциклопедии. 
• Sampling of analog signals Интерактивная презентация дискретизации по времени. Institute of Telecommunications, University of Stuttgart