Синус-верзус

Синус-верзус (sinus versus — обращённый синус; другие написания: версинус, синус версус, называется также «стрелка дуги») — одна из (редко используемых тригонометрических функций). Синус-верзус угла ${\displaystyle \vartheta }$ обозначается символом ${\displaystyle \operatorname {versin} \,\vartheta ;}$ иногда используются обозначения ${\displaystyle \operatorname {vers} \,\vartheta ,\quad \sin \,\operatorname {vers} \,\vartheta .}$

Определение тригонометрических функций на единичной окружности. Отрезок CD описывает версинус.

Определение

Синус-верзус определяется с помощью (синуса) и косинуса как

${\displaystyle \operatorname {versin} \,\vartheta =1-\cos \vartheta =2\sin ^{2}\left({\frac {\vartheta }{2}}\right).}$

Синус-верзус вместе с косинусом составляет радиус окружности.

Свойства

График функции синус-верзус.

Версинус — периодическая функция с периодом 2π. Определена, непрерывна и бесконечно дифференцируема для всех действительных чисел.

Синус-верзус определён через отношение эксеканса и секанса по формуле

versin(x) = exsec(x)/sec(x).

Если взять произведение синус-верзуса и косинуса, затем прибавить к этому произведению произведение коверсинуса и синуса, то получаем основное тригонометрическое тождество

versin(x)*cos(x) + coversin(x)*sin(x) =

= 1-cos(x)*cos(x) + 1-sin(x)*sin(x)=

= 1-cos^2(x) + 1-sin^2(x)=

= sin^2(x) + cos^2(x) = 1.

Версинус можно использовать в плоскости комплексных чисел.

От функции синус-верзуса можно получить другие функции:

1) Получение гаверсинуса

versin(x)/2 = haversin(x)

2) Получение квадратных тригонометрических функций

versin(x)*cos(x) = 1-cos(x)*cos(x) =

=1-cos^2(x) = sin^2(x)

1-(versin(x)*cos(x)) = 1-(1-cos(x)*cos(x))=

= 1-(1-cos^2(x)) = 1-sin^2(x) = cos^2(x)

3) Получение трёх квадратных тригонометрических функций и выведение к тригонометрическим тождествам

((versin(x)*cos(x))+(coversin(x)*sin(x)))+tg^2(x) =(sin^2(x)+cos^2(x))+tg^2(x) = 1+tg^2(x) = =1/cos^2(x) = sec^2(x)

((versin(x)*cos(x))+(coversin(x)*sin(x)))+ctg^2(x) = (sin^2(x)+cos^2(x))+ctg^2(x) = 1+ctg^2(x) = =1/sin^2(x) = csc^2(x)

Производная версинуса — синус:

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {versin} \,z=\sin z.}$

Первообразная:

${\displaystyle \int \operatorname {versin} \,z\,dz=z-\sin z+C.}$

Синус-верзус может определяться через гаверсинус или функцию аккорда, то есть

versin(x) = haversin(x)*2 = sin^2(x/2)*2

versin(x) = crd(x)*sin(x/2)= 2sin(x/2)*sin(x/2)

История и использование

Синус-верзус играл важную роль в навигации по звёздам, а также был удобен для ручных расчётов с использованием логарифмов.

См. также

• (Редко используемые тригонометрические функции)

Примечания

1. Schenk, Bobby. Astronavigation – ohne Formeln – praxisnah (неопр.). — Bielefeld: Verlag Delius Klasing & Co, 1978.

Литература

• M. Abramowitz, I. A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (9)1972, New York: Dover, стр. 78

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Versine (англ.) на сайте Wolfram (MathWorld).