Не следует путать с гомеоморфизмом Гомоморфизм от др греч ὁμός равный одинаковый и μορφή вид форма это морфизм в категор

Гомоморфизм (от др.-греч. ὁμός — равный, одинаковый и μορφή — вид, форма) — это (морфизм) в категории алгебраических систем, то есть отображение алгебраической системы А, сохраняющее основные операции и основные отношения.

Определение

Отображение $f\colon G_{1}\to G_{2}$ называется гомоморфизмом групп $(G_{1},*)$ , $(G_{2},\times )$ , если оно одну групповую операцию переводит в другую: $f(a*b)=f(a)\times f(b)$ , то есть образ произведения равен произведению образов.

Понятие гомоморфизма как соотношение между парой алгебраических систем начало использоваться в работах немецкого математика (Фробениуса), а обобщённое определение было сформулировано Эмми Нётер в 1929 году. Частными случаями гомоморфизма являются изоморфизм и автоморфизм. Некоторая общая теория, уточняющая понятия гомоморфизма, изоморфизма и морфизма, предложена известной группой французских математиков Николя Бурбаки в их книге «Теория множеств» (Глава IV, § 2).

Связанные определения

Гомоморфный образ — образ математического объекта, имеющего структуру полугруппы, группы, кольца, алгебры при гомоморфном отображении. Иногда говорят и о гомоморфных образах других математических объектов, например, графов.
Ядро гомоморфизма
- для гомоморфизма абелевых групп (в частности, для колец, векторных пространств и т. д.) — (прообраз) нуля,
- для общих групп — прообраз единицы.

Свойства

Ядро гомоморфизма является нормальной подгруппой. Гомоморфный образ группы изоморфен (факторгруппе) по ядру гомоморфизма (теорема о гомоморфизме).

Типы гомоморфизмов

(Мономорфизм) — однозначный (инъективный) гомоморфизм
(Эпиморфизм) — сюръективный гомоморфизм
(Биморфизм) — взаимно однозначный (биективный) гомоморфизм
Изоморфизм — гомоморфизм с наличием обратного гомоморфизма
Эндоморфизм — гомоморфизм в само множество
Автоморфизм — изоморфизм на само множество

См. также

(Псевдохарактер)
(Факторгруппа)

Примечания

Гомоморфизм // Системный анализ и принятие решений : Словарь-справочник. — М. : Высшая школа, 2004. — С. 72. — 616 с. — ББК 32.817. — УДК 005^(G). — .

Литература

Корн Г., Корн Т. Справочник по математике — 1970, с. 332 (1974, с. 373).

[1] Гомоморфизм // Системный анализ и принятие решений : Словарь-справочник. — М. : Высшая школа, 2004. — С. 72. — 616 с. — ББК 32.817. — УДК 005^(G). — .