Двои́чная систе́ма счисле́ния — позиционная система счисления с основанием 2. Благодаря непосредственной реализации в (цифровых электронных схемах) на (логических вентилях), двоичная система используется практически во всех современных компьютерах и прочих вычислительных электронных устройствах.
Системы счисления в культуре | |
---|---|
Индо-арабская | |
Арабская Тамильская Бирманская | Тайская |
Восточноазиатские | |
(Китайская) (Японская) (Сучжоу) (Корейская) | (Вьетнамская) Счётные палочки |
Алфавитные | |
(Абджадия) (Армянская) (Ариабхата) (Кириллическая) (Греческая) | (Грузинская) Эфиопская (Еврейская) Акшара-санкхья |
Другие | |
(Вавилонская) (Египетская) (Этрусская) Римская (Дунайская) | (Аттическая) (Кипу) (Майяская) (Эгейская) (Символы КППУ) |
Позиционные | |
2, (3), , , , (8), 10, (12), 16, (20), (60) | |
(Нега-позиционная) | |
Смешанные системы | |
(Фибоначчиева) | |
Непозиционные | |
(Единичная (унарная)) |
Двоичная запись чисел
В двоичной системе счисления числа записываются с помощью двух символов (0 и 1). Чтобы не путать, в какой системе счисления записано число, его снабжают указателем справа внизу. Например, число в десятичной системе 510, в двоичной 1012. Иногда двоичное число обозначают префиксом 0b или символом & (амперсанд), например 0b101 или соответственно &101.
В двоичной системе счисления (как и в других системах счисления, кроме десятичной) знаки читаются по одному. Например, число 1012 произносится «один ноль один».
Натуральные числа
Натуральное число, записываемое в двоичной системе счисления как , имеет значение:
где:
- — количество цифр (знаков) в числе,
- — значения цифр из множества {0,1},
- — порядковый номер цифры.
Отрицательные числа
Отрицательные двоичные числа обозначаются так же как и десятичные: знаком «−» перед числом. А именно, отрицательное целое число, записываемое в двоичной системе счисления , имеет величину:
В вычислительной технике широко используется запись отрицательных двоичных чисел в (дополнительном коде).
Дробные числа
Дробное число, записываемое в двоичной системе счисления как , имеет величину:
где:
- — количество цифр дробной части числа,
- — значения цифр из множества .
Сложение, вычитание и умножение двоичных чисел
Таблица сложения
+ | 0 | 1 |
---|---|---|
0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 0 (перенос 1 в старший разряд) |
Таблица вычитания
– | 0 | 1 |
---|---|---|
0 | 0 | 1 |
1 | 1 (заём из старшего разряда) | 0 |
Пример сложения «столбиком» (десятичное выражение 1410 + 510 = 1910 в двоичном виде выглядит как 11102 + 1012 = 100112):
+ | 1 | 1 | 1 | 0 | |
1 | 0 | 1 | |||
1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Таблица умножения
× | 0 | 1 |
---|---|---|
0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 |
Пример умножения «столбиком» (десятичное выражение 1410 * 510 = 7010 в двоичном виде выглядит как 11102 * 1012 = 10001102):
× | 1 | 1 | 1 | 0 | |||
1 | 0 | 1 | |||||
+ | 1 | 1 | 1 | 0 | |||
1 | 1 | 1 | 0 | ||||
1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
Преобразование чисел
Для преобразования из двоичной системы в десятичную используют следующую таблицу степеней основания 2:
1024 | 512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
Начиная с цифры 1 все цифры умножаются на два. Точка, которая стоит после 1, называется двоичной точкой.
Преобразование двоичных чисел в десятичные
Допустим, дано двоичное число 1100012. Для перевода в десятичное запишите его как сумму по разрядам следующим образом:
1 * 25 + 1 * 24 + 0 * 23 + 0 * 22 + 0 * 21 + 1 * 20 = 49
То же самое чуть иначе:
1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49
Можно записать это в виде таблицы следующим образом:
512 | 256 | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | ||||
+32 | +16 | +0 | +0 | +0 | +1 |
Двигайтесь справа налево. Под каждой двоичной единицей напишите её эквивалент в строчке ниже. Сложите получившиеся десятичные числа. Таким образом, двоичное число 1100012 равнозначно десятичному 4910.
Преобразование дробных двоичных чисел в десятичные
Нужно перевести число 1011010,1012 в десятичную систему. Запишем это число следующим образом:
1 * 26 + 0 * 25 + 1 * 24 + 1 * 23 + 0 * 22 + 1 * 21 + 0 * 20 + 1 * 2−1 + 0 * 2−2 + 1 * 2−3 = 90,625
То же самое чуть иначе:
1 * 64 + 0 * 32 + 1 * 16 + 1 * 8 + 0 * 4 + 1 * 2 + 0 * 1 + 1 * 0,5 + 0 * 0,25 + 1 * 0,125 = 90,625
Или по таблице:
64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 0.5 | 0.25 | 0.125 | |
1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | , | 1 | 0 | 1 |
+64 | +0 | +16 | +8 | +0 | +2 | +0 | +0.5 | +0 | +0.125 |
Преобразование методом Горнера
Для того, чтобы преобразовывать числа из двоичной в десятичную систему данным методом, надо суммировать цифры слева направо, умножая ранее полученный результат на основу системы (в данном случае 2). Методом Горнера обычно переводят из двоичной в десятичную систему. Обратная операция затруднительна, так как требует навыков сложения и умножения в двоичной системе счисления.
Например, двоичное число 10110112 переводится в десятичную систему так:
0*2 + 1 = 1
1*2 + 0 = 2
2*2 + 1 = 5
5*2 + 1 = 11
11*2 + 0 = 22
22*2 + 1 = 45
45*2 + 1 = 91
То есть в десятичной системе это число будет записано как 91.
Перевод дробной части чисел методом Горнера
Цифры берутся из числа справа налево и делятся на основу системы счисления (2).
Например 0,11012
(0 + 1)/2 = 0,5
(0,5 + 0)/2 = 0,25
(0,25 + 1)/2 = 0,625
(0,625 + 1)/2 = 0,8125
Ответ: 0,11012= 0,812510
Преобразование десятичных чисел в двоичные
Допустим, нам нужно перевести число 19 в двоичное. Вы можете воспользоваться делением с остатком:
19/2 = 9 с остатком 1
9/2 = 4 c остатком 1
4/2 = 2 без остатка 0
2/2 = 1 без остатка 0
1/2 = 0 с остатком 1
Итак, мы делим каждое частное на 2 и записываем остаток в конец двоичной записи. Продолжаем деление до тех пор, пока в частном не будет 0. Результат записываем справа налево. То есть нижняя цифра (1) будет самой левой и т. д. В результате получаем число 19 в двоичной записи: 10011.
Преобразование дробных десятичных чисел в двоичные
Если в исходном числе есть целая часть, то она преобразуется отдельно от дробной. Перевод дробного числа из десятичной системы счисления в двоичную осуществляется по следующему алгоритму:
- Дробь умножается на основание двоичной системы счисления (2);
- В полученном произведении выделяется целая часть, которая принимается в качестве старшего разряда числа в двоичной системе счисления;
- Алгоритм завершается, если дробная часть полученного произведения равна нулю или если достигнута требуемая точность вычислений. В противном случае вычисления продолжаются над дробной частью произведения.
Пример: Требуется перевести дробное десятичное число 206,116 в дробное двоичное число.
Перевод целой части дает 20610=110011102 по ранее описанным алгоритмам. Дробную часть 0,116 умножаем на основание 2, занося целые части произведения в разряды после запятой искомого дробного двоичного числа:
0,116 • 2 = 0,232
0,232 • 2 = 0,464
0,464 • 2 = 0,928
0,928 • 2 = 1,856
0,856 • 2 = 1,712
0,712 • 2 = 1,424
0,424 • 2 = 0,848
0,848 • 2 = 1,696
0,696 • 2 = 1,392
0,392 • 2 = 0,784
и т. д.
Таким образом 0,11610 ≈ 0,00011101102
Получим: 206,11610 ≈ 11001110,00011101102
Применения
В цифровых устройствах
Двоичная система используется в цифровых устройствах, поскольку является наиболее простой и соответствует требованиям:
- Чем меньше значений существует в системе, тем проще изготовить отдельные элементы, оперирующие этими значениями. В частности, две цифры двоичной системы счисления могут быть легко представлены многими физическими явлениями: есть ток (ток больше пороговой величины) — нет тока (ток меньше пороговой величины), индукция магнитного поля больше пороговой величины или нет (индукция магнитного поля меньше пороговой величины) и т. д.
- Чем меньше количество состояний у элемента, тем выше помехоустойчивость и тем быстрее он может работать. Например, чтобы закодировать три состояния через величину напряжения, тока или индукции магнитного поля, потребуется ввести два пороговых значения и два компаратора,
В вычислительной технике широко используется запись отрицательных двоичных чисел в (дополнительном коде). Например, число −510 может быть записано как −1012 но в 32-битном компьютере будет храниться как 111111111111111111111111111110112.
Обобщения
Двоичная система счисления является комбинацией двоичной системы кодирования и (показательной) весовой функции с основанием равным 2. Число может быть записано в двоичном коде, а система счисления при этом может быть не двоичной, а с другим основанием. Пример: (двоично-десятичное кодирование), в котором десятичные цифры записываются в двоичном виде, а система счисления — десятичная.
История
- Полный набор из 8 (триграмм) и 64 (гексаграмм), аналог 3-битных и 6-битных цифр, был известен в древнем Китае в (классических текстах) книги Перемен. Порядок гексаграмм в книге Перемен, расположенных в соответствии со значениями соответствующих двоичных цифр (от 0 до 63), и метод их получения был разработан китайским учёным и философом (Шао Юн) в XI веке. Однако нет доказательств, свидетельствующих о том, что (Шао Юн) понимал правила двоичной арифметики, располагая двухсимвольные кортежи в лексикографическом порядке.
- Индийский математик (Пингала) (200 год до н. э.) разработал математические основы для описания (поэзии) с использованием первого известного применения двоичной системы счисления.
- Прообразом баз данных, широко использовавшихся в Центральных Андах (Перу, Боливия) в государственных и общественных целях в I—II тысячелетии н. э., была узелковая письменность Инков — (кипу), состоявшая как из числовых записей (десятичной системы), так и не числовых записей в (двоичной системе) кодирования. В кипу применялись первичные и дополнительные ключи, позиционные числа, кодирование цветом и образование серий повторяющихся данных. Кипу впервые в истории человечества использовалось для применения такого способа ведения бухгалтерского учёта, как (двойная запись).
- Наборы, представляющие собой комбинации двоичных цифр, использовались африканцами в традиционных гаданиях (таких как (Ифа)) наряду со средневековой геомантией.
- В 1605 году Френсис Бэкон описал систему, буквы алфавита которой могут быть сведены к последовательностям двоичных цифр, которые в свою очередь могут быть закодированы как едва заметные изменения шрифта в любых случайных текстах. Важным шагом в становлении общей теории двоичного кодирования является замечание о том, что указанный метод может быть использован применительно к любым объектам (см. (Шифр Бэкона)).
- Современная двоичная система была полностью описана Лейбницем в XVII веке в работе Explication de l’Arithmétique Binaire. В системе счисления Лейбница были использованы цифры 0 и 1, как и в современной двоичной системе. Как человек, увлекающийся китайской культурой, Лейбниц знал о книге Перемен и заметил, что гексаграммы соответствуют двоичным числам от 0 до 111111. Он восхищался тем, что это отображение является свидетельством крупных китайских достижений в философской математике того времени.
- В 1854 году английский математик (Джордж Буль) опубликовал знаковую работу, описывающую алгебраические системы применительно к логике, которая в настоящее время известна как Булева алгебра или алгебра логики. Его логическому исчислению было суждено сыграть важную роль в разработке современных цифровых электронных схем.
- В 1937 году (Клод Шеннон) представил к защите кандидатскую диссертацию Символический анализ релейных и переключательных схем в MIT, в которой булева алгебра и двоичная арифметика были использованы применительно к электронным реле и переключателям. На диссертации Шеннона по существу основана вся современная цифровая техника.
- В ноябре 1937 года (Джордж Штибиц), впоследствии работавший в Bell Labs, создал на базе реле компьютер «Model K» (от англ. «Kitchen», кухня, где производилась сборка), который выполнял двоичное сложение. В конце 1938 года Bell Labs развернула исследовательскую программу во главе со Штибицом. Созданный под его руководством компьютер, завершённый 8 января 1940 года, умел выполнять операции с комплексными числами. Во время демонстрации на конференции (American Mathematical Society) в Дартмутском колледже 11 сентября 1940 года Штибиц продемонстрировал возможность посылки команд удалённому калькулятору комплексных чисел по телефонной линии с использованием телетайпа. Это была первая попытка использования удалённой вычислительной машины посредством телефонной линии. Среди участников конференции, бывших свидетелями демонстрации, были Джон фон Нейман, Джон Мокли и (Норберт Винер), впоследствии писавшие об этом в своих мемуарах.
См. также
- (Битовые операции)
- (Степень двойки)
- (Системы счисления)
- Бит
- Байт
- (Единицы измерения информации)
- (Двоичные логические элементы)
- (Двоичный триггер)
- (Двоично-десятичный код)
- (Двоичное кодирование)
- Азбука Морзе
Примечания
- Попова Ольга Владимировна. Учебное пособие по информатике . Дата обращения: 3 ноября 2014. 3 ноября 2014 года.
- Sanchez, Julio; Canton, Maria P. (2007), Microcontroller programming: the microchip PIC, Boca Raton, Florida: CRC Press, p. 37, ISBN
- W. S. Anglin and J. Lambek, The Heritage of Thales, Springer, 1995,
- Ordish George, Hyams, Edward. The last of the Incas: the rise and fall of an American empire. — New York: Barnes & Noble, 1996. — С. 80. — .
- Experts 'decipher' Inca strings . Архивировано 18 августа 2011 года.
- Carlos Radicati di Primeglio, Gary Urton. Estudios sobre los quipus (неопр.). — С. 49.
- Dale Buckmaster. The Incan Quipu and the Jacobsen Hypothesis (англ.) // [англ.] : journal. — 1974. — Vol. 12, no. 1. — P. 178—181. 22 июня 2020 года.
- (Bacon, Francis), The Advancement of Learning, vol. 6, London, pp. Chapter 1, 18 марта 2017 . Дата обращения: 25 октября 2009. Архивировано 18 марта 2017 года.
- http://www.leibniz-translations.com/binary.htm от 11 февраля 2021 на Wayback Machine Leibniz Translation.com EXPLANATION OF BINARY ARITHMETIC
- Aiton, Eric J. (1985), Leibniz: A Biography, Taylor & Francis, pp. 245—8, ISBN
Ссылки
- Бинарное счисление // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
- Hexadecimal Decimal Binary Octal Converter for programmers от 21 февраля 2011 на Wayback Machine
- Конвертер целых и дробных чисел из двоичной системы счисления в десятичную.
- (Фомин С. В.) Системы счисления. — М.: Наука, 1987. — 48 с. — ((Популярные лекции по математике)). (альтернативная ссылка), (альтернативная ссылка на сайт РГБ)
- Системы счисления : методические указания и задание к самостоятельной работе по дисциплине "Информатика" для студентов всех специальностей. — Саратов: (Саратовский гос. технический ун-т), 2009. — 24 с.
- Любомудров А.А. Системы счисления. Методы перевода чисел из позиционной системы счисления с основанием p1 в позиционную систему счисления с основанием p2. — М.: НИЯУ МИФИ, 2009. — 28 с.
- Андреева Е. В. Системы счисления и компьютерная арифметика : учеб. пособие. — изд. 3-е. — М.: Бином. Лаб. знаний, 2004. — 254 с.
- Системы счисления (16 сент. 2014 г.)
- МГИУ : Информатика. Выпуск 1. Системы счисления. (21 февр. 2014 г.)
- Двоичная система счисления — визуальное объяснение принципа работы позиционных систем счисления (в частности, двоичной)
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер