Диффеоморфизм

Диффеоморфизм — отображение определённого типа между гладкими многообразиями.

Образ квадрата прямоугольной сетки при некотором диффеоморфизме этого квадрата в себя.

Определение

Диффеоморфизм — взаимно однозначное и гладкое отображение ${\displaystyle f\colon M\to N}$ гладкого многообразия ${\displaystyle M}$ в гладкое многообразие ${\displaystyle N}$, обратное к которому тоже является гладким.

Обычно под гладкостью понимается ${\displaystyle C^{\infty }}$-гладкость, однако таким же образом могут быть определены диффеоморфизмы с другим типом гладкости, в частности, класса ${\displaystyle C^{k}}$ при любом натуральном ${\displaystyle k}$.

Примеры

Простейшими примерами диффеоморфизмов являются невырожденные линейные (аффинные) преобразования векторных (соответственно, аффинных) пространств одинаковой размерности.

Связанные определения

• Если для ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ существует диффеоморфизм ${\displaystyle f\colon M\to N}$, то говорят, что ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ диффеоморфны.
  • Обычно это отношение обозначается ${\displaystyle M\cong N}$.
  • Заметим, что диффеоморфными могут быть только многообразия одинаковой размерности.

• Множество диффеоморфизмов многообразия ${\displaystyle M}$ в себя образует группу, называемую группой диффеоморфизмов ${\displaystyle M}$ и обозначаемую ${\displaystyle \operatorname {Diff} \,M}$.

• Отображение ${\displaystyle f\colon M\to N}$ называется локальным диффеоморфизмом в точке ${\displaystyle x\in M}$ если его сужение на некоторую окрестность точки ${\displaystyle x}$ является диффеоморфизмом на некоторую окрестность точки ${\displaystyle y=f(x)\in N}$.

Свойства

• Любой диффеоморфизм является гомеоморфизмом.
  • Обратное неверно. Более того, существуют гомеоморфные, но не диффеоморфные гладкие многообразия (например, (экзотическая сфера)).
• Взаимно однозначное отображение ${\displaystyle f\colon M\to N}$ является диффеоморфизмом тогда и только тогда, когда ${\displaystyle f}$ — гладкое отображение и его якобиан нигде не равен нулю.

См. также

• Гомеоморфизм

Литература

• (Зорич В. А.) Математический анализ. — М.: (Физматлит), 1984. — 544 с.
• Милнор Дж., Уоллес А. Дифференциальная топология (начальный курс), — Любое издание.
• Хирш М. Дифференциальная топология, — Любое издание.
• Спивак М. Математический анализ на многообразиях. — М.: Мир, 1968.