Многообразие

У этого термина существуют и другие значения, см. Многообразие (значения).

Многообра́зие (топологическое многообразие) — локально евклидово пространство.

Евклидово пространство является самым простым примером многообразия. Более сложным примером может служить поверхность Земли: возможно сделать карту какой-либо области земной поверхности, например, карту полушария, но невозможно составить единую (плоскую и без разрывов) карту всей её поверхности.

Исследования многообразий были начаты во второй половине XIX века, они естественно возникли при изучении дифференциальной геометрии и теории (групп Ли). Тем не менее первые точные определения были сделаны только в 30-х годах XX века.

Обычно рассматриваются так называемые гладкие многообразия, то есть те, на которых есть выделенный класс гладких функций — в таких многообразиях можно говорить о касательных векторах и касательных пространствах. Для того чтобы измерять длины кривых и углы, нужна ещё дополнительная структура — (риманова метрика).

В классической механике основным многообразием является (фазовое пространство). В общей теории относительности четырёхмерное (псевдориманово многообразие) используется как модель для пространства-времени.

Определения

${\displaystyle n}$-мерное топологическое многообразие без края — это хаусдорфово топологическое пространство со (счётной) базой, в котором каждая точка имеет (открытую окрестность), гомеоморфную открытому подмножеству ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, то есть ${\displaystyle n}$-мерному евклидову пространству.

${\displaystyle n}$-мерное топологическое многообразие^[] — это хаусдорфово топологическое пространство со счётной базой, в котором каждая точка имеет окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству замкнутого полупространства в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ (считаем открытыми также объединения открытых подмножеств с пересечением их границы и граничной гиперплоскости).

• Точки, которые имеют открытую окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, называются внутренними, а множество всех таких точек — внутренность многообразия (это всегда непустое множество).
• Дополнение к внутренности называется краем, это — ${\displaystyle (n-1)}$-мерное многообразие без края.

Особенности определения

• Условие счётности базы эквивалентно тому, что многообразие (вкладывается) в евклидово пространство конечной размерности (то, что такое вложение существует, подтверждает (теорема Уитни о вложении)).
• Иногда вместо условия счётности базы используется более слабое условие (паракомпактности) пространства.
• Введённое здесь понятие края вовсе не равносильно понятию (относительной границы) в общей топологии.
• Требование хаусдорфовости может показаться излишним; пример пространства, которое локально гомеоморфно евклидовому, но при этом не хаусдорфово, можно построить склеиванием двух копий вещественной прямой по всем точкам, кроме одной.

Гладкие многообразия

Основная статья: (Дифференцируемое многообразие)

Гладкая структура, определённая ниже, обычно возникает в почти всех приложениях и при этом делает многообразие гораздо удобней в работе.

Для топологического многообразия ${\displaystyle M}$ без границы (картой) называется гомеоморфизм ${\displaystyle \varphi }$ из открытого множества ${\displaystyle U\subset M}$ на открытое подмножество ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Набор (карт), покрывающих всё ${\displaystyle M}$, называется (атласом).

Если две (карты) ${\displaystyle \varphi }$ и ${\displaystyle \psi }$ накрывают одну точку в ${\displaystyle M}$, то их композиция ${\displaystyle \varphi \circ \psi ^{-1}}$ задаёт отображение «склейки» из открытого множества ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ в открытое множество ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Если все отображения склейки из класса ${\displaystyle C^{k}}$ (то есть ${\displaystyle k}$ раз непрерывно дифференцируемых функций), то (атлас) называется ${\displaystyle C^{k}}$ (атласом) (можно также рассматривать ${\displaystyle k=\infty }$ или ${\displaystyle \omega }$, что соответствует бесконечно дифференцируемым и аналитическим склейкам).

Пример: сфера может быть покрыта ${\displaystyle C^{\infty }}$-(атласом) из двух (карт) на дополнениях северного и южного полюсов со (стереографическими проекциями) по отношению к этим полюсам.

Два ${\displaystyle C^{k}}$ (атласа) задают одну ${\displaystyle C^{k}}$-гладкую структуру, если их объединение является ${\displaystyle C^{k}}$-(атласом).

Для таких многообразий можно ввести понятия (касательного вектора), (касательного) и (кокасательного) пространств и расслоений.

Для заданной ${\displaystyle C^{1}}$-гладкой структуры можно найти ${\displaystyle C^{\infty }}$-гладкую структуру, задаваемую новым ${\displaystyle C^{\infty }}$-(атласом), который задаёт ту же ${\displaystyle C^{1}}$-гладкую структуру. Более того, все такие полученные таким образом многообразия являются ${\displaystyle C^{\infty }}$-диффеоморфными. Поэтому часто под гладкой структурой понимают ${\displaystyle C^{1}}$-гладкую структуру.

Не каждое топологическое многообразие допускает гладкую структуру. Примеры таких («шершавых» многообразий) появляются уже в размерности четыре. Также существуют примеры топологических многообразий, которые допускают несколько различных гладких структур. Первый такой пример нестандартной гладкой структуры, так называемая (сфера Милнора), был построен (Милнором) на семимерной сфере.

Примеры

• Простейший пример многообразия — это пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\;\forall n\in [0,+\infty )}$
• Окружность — это многообразие размерности 1. Вообще любой несамопересекающийся контур можно рассматривать как одномерное многообразие. Отметим, что для негладкого контура соответствующее отображение вложения в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ не будет отображением гладких многообразий.
•  — это .
• Любая двумерная поверхность без края является примером двумерного многообразия (сфера, тор, крендель, …). По известной топологической классификационной теореме, любое ориентируемое двумерное многообразие имеет вид сферы с несколькими приклеенными ручками.
• Лента Мёбиуса — это пример двумерного неориентируемого многообразия с краем. Пример неориентируемого двумерного многообразия без края — (проективная плоскость) (многообразие прямых в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$). Отметим, что его невозможно вложить в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.
• Все указанные выше примеры многообразий можно наделить единственным образом гладкой структурой. В более высоких размерностях возможны, однако, разные гладкие структуры на одном и том же топологическом многообразии.
• Нетривиальные примеры многообразий любой размерности — проективные пространства ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ (многообразие прямых в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$) и (грассмановы многообразия) ${\displaystyle \mathrm {Gr} (k,n)}$ (многообразие ${\displaystyle k}$-мерных подпространств в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$).

Типы многообразий

• Замкнутое многообразие — компактное связное многообразие без края. Примеры: окружность, сфера, тор, (бутылка Клейна).
• Открытое многообразие — некомпактное связное многообразие без края. Примеры: Евклидово пространство.

Классификация многообразий

Каждое связное одномерное многообразие без границы (гомеоморфно) вещественной прямой или окружности.^[]

Гомеоморфный класс замкнутой связной поверхности задаётся её эйлеровой характеристикой и ориентируемостью (если поверхность ориентируема, то это сфера с (ручками), если нет, то (связная сумма) нескольких копий (проективной плоскости)).

Классификация (замкнутых) трёхмерных многообразий следует из (гипотезы Тёрстона), которая была недавно доказана (Перельманом).

Если размерность больше трёх, то классификация невозможна; более того, невозможно построить алгоритм, который определяет, является ли многообразие (односвязным). Тем не менее, существует классификация всех односвязных многообразий во всех размерностях ≥ 5.

Можно также классифицировать гладкие многообразия.

• В размерностях 1, 2 и 3 любая пара гомеоморфных многообразий является также диффеоморфной.
• В размерности 4 существуют примеры замкнутых многообразий, которые допускают бесконечное число неэквивалентных гладких структур, а открытые многообразия, как, например, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$, допускают континуум различных гладких структур.
• В размерностях 5 и выше любое топологическое многообразие допускает не более чем конечное число неэквивалентных гладких структур.

Дополнительные структуры

Часто гладкие многообразия оснащают дополнительными структурами. Вот список наиболее часто встречаемых дополнительных структур:

• Метрический тензор
• (Симплектическая форма)

Вариации и обобщения

• (Орбиобразие)
• (Псевдомногообразие)

См. также

• Алгебраическое многообразие

Примечания

1. S. Lang. Introduction to differentiable manifolds. — 2nd. — Springer-Verlag New York, Inc., 2002. — 250 p. — .

Литература

• Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — 2е. — М.: Наука, 1986. — 760 с.