Доказательство «от противного» (лат. contradictio in contrarium), или апагогическое косвенное доказательство, — вид доказательства, при котором «доказывание» некоторого суждения (тезиса доказательства) осуществляется через опровержение отрицания этого суждения — антитезиса. Этот способ доказательства основывается на истинности закона двойного отрицания в классической логике.
Этот способ очень важен для математики, где существует много суждений, которые не могут быть доказаны по-другому.
Схема доказательства
Доказательство утверждения проводится следующим образом. Сначала принимают предположение, что утверждение
неверно, а затем доказывают, что при таком предположении было бы верно некоторое утверждение
, которое заведомо неверно.
Из определения импликации следует, что, если ложно, то формула
истинна тогда и только тогда, когда
ложно, следовательно утверждение
истинно.
Полученное противоречие показывает, что исходное предположение было неверным, и поэтому верно утверждение , которое по закону двойного отрицания равносильно утверждению
.
В интуиционистской логике доказательство от противного не принимается, так же как не действует закон исключённого третьего.
Примеры
В математике
- Доказательство иррациональности числа
.
Допустим противное: число рационально, то есть представляется в виде несократимой дроби
, где
— целое число, а
— натуральное. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:
, откуда
.
Отсюда следует, что чётно, значит, чётно и
; следовательно,
делится на 4, а значит,
и
тоже чётны. Полученное утверждение противоречит несократимости дроби
. Значит, исходное предположение было неверным, и
— иррациональное число.
В повседневной жизни
Врач, разъясняя пациенту что тот не болен гриппом, может использовать такие рассуждения: «Если бы вы действительно были больны гриппом, то у вас была бы повышена температура, был заложен нос и т. д. Но всё это у вас отсутствует, значит, нет и гриппа».
См. также
- Приведение к абсурду (апагогия)
- Метод бесконечного спуска
Примечания
- Косвенное доказательство//Философия: Энциклопедический словарь. — М.: Гардарики. Под редакцией (А. А. Ивина). 2004.
- Доказательство от противного//Философия: Энциклопедический словарь. — М.: Гардарики. Под редакцией (А. А. Ивина). 2004.
- Доказательство от противного // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.