Дуга окружности

Дуга́ окру́жности (обозначается: ◡) — одна из двух частей (подмножеств) окружности, на которые её разбивают две различные принадлежащие ей точки. Любые две различные точки A и B окружности разбивают её на две части; каждая из этих частей называется дугой.

Дуга окружности с центральным углом ${\displaystyle \alpha }$

Точки A и C делят окружность на две взаимно дополнительные дуги: меньшую ABC и бо́льшую ADC

Если A и B — концы диаметра (то есть AOB — развернутый), точка O — центр окружности, то они определяют две равные дуги, называемые полуокружностями. Если угол AOB не развернутый, то одна из двух дуг AB — это часть окружности, лежащая внутри угла AOB; говорят, что она меньше полуокружности, и что вторая дуга больше полуокружности. Эти углы и дуги называют дополнительными. При необходимости конкретизировать в обозначении, какая из двух дополнительных дуг имеется в виду, дугу записывают как последовательность из трёх точек: ABC, где A и C — концы дуги, B — точка, лежащая на дуге.

Отрезок прямой, соединяющий концы дуги, является хордой окружности; говорят, что хорда AB стягивает дугу AB.

Дуги можно измерять в угловых единицах (например, в градусах или радианах) по величине центрального угла дуги, однако равные по центральным углам дуги разных окружностей не обязательно равны по длине — их длины прямо пропорциональны радиусу окружности, так что они равны только при равенстве радиусов.

Свойства

${\displaystyle L}$ — длина дуги окружности

• Длина дуги ${\displaystyle L}$ окружности радиуса ${\displaystyle r}$ вычисляется по формуле:
  • ${\displaystyle L=r\theta }$; где ${\displaystyle \theta }$ — центральный угол, выраженный в радианах;
  • ${\displaystyle L=\pi r{\frac {a^{\circ }}{\displaystyle {180^{\circ }}}}}$; где ${\displaystyle a^{\circ }}$ — центральный угол, выраженный в градусах.
• Длина хорды ${\displaystyle m}$, стягивающей дугу окружности радиуса ${\displaystyle r}$ с центральным углом ${\displaystyle \theta }$:
  • ${\displaystyle m=2r\sin {\frac {\theta }{2}}=2{\frac {L}{\theta }}\sin {\frac {\theta }{2}}.}$

Вариации и обобщения

В более широком смысле понятие «дуга» (простая дуга, жорданова дуга) может означать часть произвольной кривой, заключённую между двумя её точками и не содержащую точек самопересечения.

См. также

• (Круговой сегмент)
• (Круговой сектор)

Примечания

1. Дуга // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: (Советская Энциклопедия), 1979. — Т. 2. — С. 391. — 1104 с.

Ссылки

• «Углы, градусы и радианы» — перевод статьи Intuitive Guide to Angles, Degrees and Radians | BetterExplained (англ.)