Хорда (геометрия)

У этого термина существуют и другие значения, см. (Хорда).

Хо́рда (от греч. χορδή — струна) в планиметрии — отрезок, соединяющий две точки данной кривой (например, окружности, эллипса, (параболы), гиперболы).

1 — секущая, 2 — хорда AB (отмечена красным цветом), 3 — сегмент (отмечен зелёным цветом), 4 — дуга

Хорда находится на (секущей прямой) — прямой линии, пересекающей кривую в двух или более точках. Плоская фигура, заключённая между кривой и её хордой называется (сегментом), а часть кривой, находящаяся между двумя крайними точками хорды называется дугой. В случае с замкнутыми кривыми (например, окружностью, эллипсом) хорда образует пару дуг с одними и теми же крайними точками по разные стороны хорды. Хорда, проходящая через центр окружности, является её диаметром. Диаметр — самая длинная хорда окружности.

Свойства хорд окружности

Если хорда ${\displaystyle AD}$ равна хорде ${\displaystyle BC}$, то дуга ${\displaystyle AD}$ равна дуге ${\displaystyle BC}$. Если хорда ${\displaystyle AD}$ параллельна хорде ${\displaystyle BC}$, то дуга ${\displaystyle AB}$ равна дуге ${\displaystyle CD}$

Хорда и расстояние до центра окружности

• Если расстояния от центра окружности до хорд равны, то эти хорды равны.
• Если хорды равны, то расстояния от центра окружности до этих хорд равны.
• Если хорда больше, то расстояние от центра окружности до этой хорды меньше. Если хорда меньше, то расстояние от центра окружности до этой хорды больше.
• Если расстояние от центра окружности до хорды меньше, то эта хорда больше. Если расстояние от центра окружности до хорды больше, то эта хорда меньше.
• Наибольшая возможная хорда является диаметром.
• Если хорда проходит через центр окружности, то эта хорда является диаметром.
• Если расстояние от центра окружности до хорды равно радиусу, то эта хорда является точкой.
• Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.

Хорда и диаметр

• Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр перпендикулярен этой хорде.
• Если диаметр перпендикулярен хорде, то этот диаметр делит эту хорду пополам.
• Если диаметр делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот диаметр делит дуги, стягиваемые этой хордой, пополам.
• Если диаметр делит дугу пополам, то этот диаметр делит пополам хорду, стягивающую эту дугу.
• Если диаметр перпендикулярен хорде, то этот диаметр делит дуги, стягиваемые этой хордой, пополам.

Хорда и радиус

• Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус перпендикулярен этой хорде.
• Если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит эту хорду пополам.
• Если радиус делит хорду, не являющуюся диаметром, пополам, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам.
• Если радиус делит дугу пополам, то этот радиус делит пополам хорду, стягивающую эту дугу.
• Если радиус перпендикулярен хорде, то этот радиус делит дугу, стягиваемую этой хордой, пополам.
• Если радиус делит дугу пополам, то этот радиус перпендикулярен хорде, стягивающей эту дугу.

Хорда и вписанный угол

• Если вписанные углы опираются на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по одну сторону этой хорды, то эти углы равны.
• Если пара вписанных углов опирается на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по разные стороны этой хорды, то сумма этих углов равна 180°.
• Если вписанный и центральный углы опираются на одну и ту же хорду и вершины этих углов лежат по одну сторону этой хорды, то вписанный угол равен половине центрального угла.
• Если вписанный угол опирается на диаметр, то этот угол является прямым.

Хорда и центральный угол

• Если хорды стягивают равные (центральные углы), то эти хорды равны.
• Если хорды равны, то эти хорды стягивают равные центральные углы.
• Большая хорда стягивает больший центральный угол, меньшая хорда стягивает меньший центральный угол.
• Больший центральный угол стягивается большей хордой, меньший центральный угол стягивается меньшей хордой.

Хорда и дуга

• Если хорды стягивают равные дуги, то эти хорды равны.
• Если хорды равны, то эти хорды стягивают равные дуги.
• Из дуг, меньших полуокружности, бóльшая дуга стягивается большей хордой, меньшая дуга стягивается меньшей хордой.
• Из дуг, меньших полуокружности, бóльшая хорда стягивает бóльшую дугу, меньшая хорда стягивает меньшую дугу.
• Из дуг, бóльших полуокружности, меньшая дуга стягивается большей хордой, бóльшая дуга стягивается меньшей хордой.
• Из дуг, бóльших полуокружности, бóльшая хорда стягивает меньшую дугу, меньшая хорда стягивает бóльшую дугу.
• Хорда, стягивающая полуокружность, является диаметром.
• Если хорды параллельны, то дуги, заключённые между этими хордами (не путать с дугами, стягиваемыми хордами), равны.

Другие свойства

Рис. 1. ${\displaystyle AE\cdot EB=CE\cdot ED}$

• При (пересечении двух хорд) AB и CD в точке E получаются отрезки, произведение длин которых у одной хорды равно соответствующему произведению у другой (см. рис. 1): ${\displaystyle AE\cdot EB=CE\cdot ED}$.
• Если хорда делится пополам какой-либо точкой, то её длина самая маленькая по сравнению с длинами проведённых через эту точку хорд.

Свойства хорд эллипса

Основные формулы

Рис. 2

Рис. 3

• Длина хорды равна ${\displaystyle l=2r\sin {\frac {\alpha }{2}}=D\sin {\frac {\alpha }{2}}}$, где ${\displaystyle r}$ — радиус окружности, ${\displaystyle D}$ – диаметр окружности, ${\displaystyle \alpha }$ — (центральный угол), опирающийся на данную хорду (рис. 2).
• Формула, напрямую выводящаяся из (теоремы Пифагора) (рис. 3): ${\displaystyle \left({\frac {l}{2}}\right)^{2}+d^{2}=r^{2}}$, где ${\displaystyle l}$ — длина хорды, ${\displaystyle r}$ — радиус окружности, ${\displaystyle d}$ — расстояние от центра окружности до хорды.
• Если известны все четыре длины отрезков двух пересекающихся хорд, например, ${\displaystyle {\overline {a}}=AE\,;\,{\overline {A}}=EB\,;\,{\overline {b}}=CE\,;\,{\overline {B}}=ED}$ (см. Рис.1), то радиус окружности определяется формулой:

${\displaystyle r={\sqrt {{\overline {A}}\cdot {\overline {a}}+{\frac {({\overline {A}}-{\overline {a}})^{2}+({\overline {B}}-{\overline {b}})^{2}-2\,({\overline {A}}-{\overline {a}})({\overline {B}}-{\overline {b}})\cos {t}}{4\,\sin ^{2}{t}}}}}}$

при ограничениях: ${\displaystyle {\overline {A}}\cdot {\overline {a}}={\overline {B}}\cdot {\overline {b}}\,;\quad {\overline {A}}\geq {\overline {a}}\,;\quad {\overline {B}}\geq {\overline {b}}}$.

Здесь ${\displaystyle t\,}$ — угол между отрезками ${\displaystyle {\overline {A}}}$ и ${\displaystyle {\overline {B}}\,\,}$ (или между отрезками ${\displaystyle {\overline {a}}}$ и ${\displaystyle {\overline {b}}}$) .

В случае, когда хорды взаимно перпендикулярны,

${\displaystyle r={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\overline {A}}^{2}+{\overline {a}}^{2}+{\overline {B}}^{2}+{\overline {b}}^{2}}}}$

Связанные понятия

• Касательная
• (Секущая)
• Диаметр
• Дуга окружности

Ссылки

• Справочник. Окружности  (неопр.).