Законы Кеплера

Зако́ны Ке́плера — три эмпирических соотношения, установленные Иоганном Кеплером на основе длительных астрономических наблюдений Тихо Браге. Изложены Кеплером в работах, опубликованных между 1609 и 1619 годами. Описывают идеализированную гелиоцентрическую орбиту планеты.

Соотношения Кеплера позволили Ньютону постулировать закон всемирного тяготения, который стал фундаментальным в классической механике. В её рамках законы Кеплера являются решением задачи двух тел в случае пренебрежимо малой массы планеты, то есть в предельном переходе ${\displaystyle m_{p}/m_{s}\rightarrow 0}$, где ${\displaystyle m_{p}}$, ${\displaystyle m_{s}}$ — массы планеты и звезды соответственно.

Формулировки

Первый закон Кеплера (закон эллипсов)

Первый закон Кеплера

Каждая планета Солнечной системы движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением ${\displaystyle e={\frac {c}{a}}}$, где ${\displaystyle c}$ — расстояние от центра эллипса до его фокуса (фокальное расстояние), ${\displaystyle {a}}$ — большая полуось. Величина ${\displaystyle e}$ называется эксцентриситетом эллипса. При ${\displaystyle c=0}$, и, следовательно, ${\displaystyle e=0,}$ эллипс превращается в окружность.

Второй закон Кеплера (закон площадей)

Второй закон Кеплера

Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает собой равные площади.

Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.

Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по эклиптике к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает также, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

Третий закон Кеплера (гармонический закон)

Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей орбит планет.

${\displaystyle {\frac {T_{1}^{2}}{T_{2}^{2}}}={\frac {a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}}}$,

Третий закон Кеплера

где ${\displaystyle T_{1}}$ и ${\displaystyle T_{2}}$ — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а ${\displaystyle a_{1}}$ и ${\displaystyle a_{2}}$ — длины больших полуосей их орбит. Утверждение справедливо также для спутников.

Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определённой массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты:

${\displaystyle {\frac {T_{1}^{2}(M+m_{1})}{T_{2}^{2}(M+m_{2})}}={\frac {a_{1}^{3}}{a_{2}^{3}}}}$,

где ${\displaystyle M}$ — масса Солнца, а ${\displaystyle m_{1}}$ и ${\displaystyle m_{2}}$ — массы планет.

Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.

Вывод законов Кеплера из законов классической механики

Вывод Первого закона Кеплера

Рассмотрим движение в полярных координатах ${\displaystyle (r,\theta )}$, центр которых совпадает с центром масс системы (приближенно, совпадает с Солнцем).

Пусть ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — радиус-вектор к планете, за ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /r}$ обозначим единичный вектор, указывающий его направление. Аналогично введём ${\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$ — единичный вектор, перпендикулярный ${\displaystyle \mathbf {r} }$, направленный в сторону увеличения полярного угла ${\displaystyle \theta }$. Запишем производные по времени, обозначая их точками:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\theta }}{\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}=({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}){\hat {\boldsymbol {\theta }}}}$

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что «каждый объект во Вселенной притягивает каждый другой объект по линии, соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». То есть ускорение имеет вид:

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=f(r){\hat {\mathbf {r} }}.}$

Или в координатной форме:

${\displaystyle {\begin{cases}{\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=f(r),\\r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}=0;\end{cases}}}$

Во втором уравнении распишем ${\displaystyle {\ddot {\theta }}}$ и ${\displaystyle {\dot {r}}}$:

${\displaystyle r{d{\dot {\theta }} \over dt}+2{dr \over dt}{\dot {\theta }}=0,}$

Избавляясь от времени и разделяя переменные, получим:

${\displaystyle {\frac {d{\dot {\theta }}}{\dot {\theta }}}=-2{\frac {dr}{r}}.}$

Интегрирование которого даст:

${\displaystyle \ln {\dot {\theta }}=-2\ln r+C,}$

Полагая ${\displaystyle C=\ln \ell }$ и упрощая логарифмы имеем окончательно

${\displaystyle r^{2}{\dot {\theta }}=\ell }$

Константа ${\displaystyle \ell }$ по смыслу является удельным угловым моментом (${\displaystyle \ell =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$). Мы показали, что в поле центральных сил он сохраняется.

Для работы с первым уравнением удобно произвести замену:

${\displaystyle r={\frac {1}{u}},}$

И переписать производные, попутно избавляясь от времени

${\displaystyle {\dot {r}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\dot {u}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {du}{dt}}=-{\frac {1}{u^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\frac {du}{d\theta }},}$

${\displaystyle {\ddot {r}}=-\ell {\frac {d}{dt}}{\frac {du}{d\theta }}=-\ell {\frac {d^{2}u}{dt\,d\theta }}\cdot {\frac {d\theta }{d\theta }}=-\ell {\dot {\theta }}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}=-\ell ^{2}u^{2}{\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}.}$

Уравнение движения в направлении ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ тогда запишется:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {1}{\ell ^{2}u^{2}}}f\left({\frac {1}{u}}\right).}$

Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как

${\displaystyle f\left({1 \over u}\right)=f(r)=-\,{GM \over r^{2}}=-GMu^{2}}$

где ${\displaystyle G}$ — универсальная гравитационная константа и ${\displaystyle M}$ — масса звезды.

В результате:

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u={\frac {GM}{\ell ^{2}}}.}$

Это дифференциальное уравнение можно переписать в полных производных:

${\displaystyle {\frac {d}{du}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {du}{d\theta }}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}u^{2}\right)={\frac {d}{du}}\left({\frac {GM}{\ell ^{2}}}u\right)}$

Избавляясь от которых получим:

${\displaystyle \left({\frac {du}{d\theta }}\right)^{2}+u^{2}-{\frac {2GM}{\ell ^{2}}}u=C}$

И окончательно:

${\displaystyle {\frac {du}{d\theta }}=\pm {\sqrt {C+{\frac {2GM}{\ell ^{2}}}u-u^{2}}}}$

Разделив переменные и произведя элементарное интегрирование получим общее решение:

${\displaystyle u={\frac {GM}{\ell ^{2}}}\left[1+e\cos(\theta -\theta _{0})\right].}$

для констант интегрирования ${\displaystyle e}$ и ${\displaystyle \theta _{0}}$, зависящих от начальных условий.

Заменяя ${\displaystyle u}$ на 1/${\displaystyle r}$ и вводя ${\displaystyle p={\frac {\ell ^{2}}{GM}}}$, имеем окончательно:

${\displaystyle p=r\,(1+e\cos(\theta -\theta _{0}))}$

Мы получили уравнение конического сечения с параметром ${\displaystyle p}$ и эксцентриситетом ${\displaystyle e}$ и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.

Вывод Второго закона Кеплера

По определению (момент импульса) ${\displaystyle \mathbf {L} }$ точечного тела с массой ${\displaystyle m}$ и скоростью ${\displaystyle \mathbf {v} }$ записывается в виде:

${\displaystyle \mathbf {L} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times (m\mathbf {v} )}$.

где ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — радиус-вектор тела, а ${\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }$ — его импульс. Площадь, заметаемая радиус-вектором ${\displaystyle \mathbf {r} }$ за время ${\displaystyle dt}$ из геометрических соображений равна

${\displaystyle dS={\frac {1}{2}}r\sin \phi vdt={\frac {1}{2}}|\mathbf {r} \times \mathbf {v} |dt={\frac {\mathbf {|L|} }{2m}}dt={\frac {\ell }{2}}dt}$,

где ${\displaystyle \phi }$ представляет собой угол между векторами ${\displaystyle \mathbf {r} }$ и ${\displaystyle \mathbf {v} }$.

При выводе первого закона было показано, что ${\displaystyle \ell =const}$. То же самое можно получить простым дифференцированием углового момента:

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=(\mathbf {r} \times \mathbf {F} )+\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\times m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=(\mathbf {r} \times \mathbf {F} )+(\mathbf {v} \times \mathbf {p} )=0}$

Последний переход объясняется равенством нулю векторного произведения колинеарных векторов. Действительно, сила здесь всегда направлена по радиус-вектору, тогда как импульс направлен вдоль скорости по определению.

Получили, что ${\displaystyle \mathbf {L} }$ не зависит от времени. Значит ${\displaystyle |\mathbf {L} |}$ постоянен, а следовательно и пропорциональная ей скорость заметания площади ${\displaystyle {\frac {dS}{dt}}}$ — константа.

Вывод Третьего закона Кеплера

Третий закон Кеплера

Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках ${\displaystyle P}$ (перигелий) и ${\displaystyle A}$ (афелий), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время.

${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1-\varepsilon )a\cdot V_{A}\,dt={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\varepsilon )a\cdot V_{B}\,dt}$

${\displaystyle (1-\varepsilon )\cdot V_{A}=(1+\varepsilon )\cdot V_{B}}$

${\displaystyle V_{A}=V_{B}\cdot {\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}}$

Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, запишем

${\displaystyle {\frac {mV_{A}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{(1-\varepsilon )a}}={\frac {mV_{B}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{(1+\varepsilon )a}}}$

${\displaystyle {\frac {V_{A}^{2}}{2}}-{\frac {V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{(1-\varepsilon )a}}-{\frac {GM}{(1+\varepsilon )a}}}$

${\displaystyle {\frac {V_{A}^{2}-V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{a}}\cdot \left({\frac {1}{(1-\varepsilon )}}-{\frac {1}{(1+\varepsilon )}}\right)}$

${\displaystyle {\frac {\left(V_{B}\cdot {\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}\right)^{2}-V_{B}^{2}}{2}}={\frac {GM}{a}}\cdot \left({\frac {1+\varepsilon -1+\varepsilon }{(1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}\right)}$

${\displaystyle V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+\varepsilon }{1-\varepsilon }}\right)^{2}-V_{B}^{2}={\frac {2GM}{a}}\cdot \left({\frac {2\varepsilon }{(1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}\right)}$

${\displaystyle V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {(1+\varepsilon )^{2}-(1-\varepsilon )^{2}}{(1-\varepsilon )^{2}}}\right)={\frac {4GM\varepsilon }{a\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}}$

${\displaystyle V_{B}^{2}\cdot \left({\frac {1+2\varepsilon +\varepsilon ^{2}-1+2\varepsilon -\varepsilon ^{2}}{(1-\varepsilon )^{2}}}\right)={\frac {4GM\varepsilon }{a\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}}$

${\displaystyle V_{B}^{2}\cdot 4\varepsilon ={\frac {4GM\varepsilon \cdot (1-\varepsilon )^{2}}{a\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}}$

${\displaystyle V_{B}={\sqrt {\frac {GM\cdot (1-\varepsilon )}{a\cdot (1+\varepsilon )}}}.}$

Теперь, когда нашли ${\displaystyle V_{B}}$, мы можем найти секторную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки B получим

${\displaystyle {\frac {dA}{dt}}={\frac {{\frac {1}{2}}\cdot (1+\epsilon )a\cdot V_{B}\,dt}{dt}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\epsilon )a\cdot V_{B}}$

${\displaystyle ={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot (1+\varepsilon )a\cdot {\sqrt {\frac {GM\cdot (1-\varepsilon )}{a\cdot (1+\varepsilon )}}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}}$

Однако полная площадь эллипса равна ${\displaystyle \pi a{\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a}$ (что равно ${\displaystyle \pi ab}$, поскольку ${\displaystyle b={\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a}$). Время полного оборота, таким образом, равно

${\displaystyle T\cdot {\frac {dA}{dt}}=\pi a{\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a}$

${\displaystyle T\cdot {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\cdot {\sqrt {GMa\cdot (1-\varepsilon )(1+\varepsilon )}}=\pi {\sqrt {(1-\varepsilon ^{2})}}a^{2}}$

${\displaystyle T={\frac {2\pi {\sqrt {(1-\epsilon ^{2})}}a^{2}}{\sqrt {GMa\cdot (1-\epsilon )(1+\epsilon )}}}={\frac {2\pi a^{2}}{\sqrt {GMa}}}={\frac {2\pi }{\sqrt {GM}}}{\sqrt {a^{3}}}}$

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{GM}}a^{3}.}$

Заметим, что если масса ${\displaystyle m}$ не пренебрежимо мала по сравнению с ${\displaystyle M}$, то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы ${\displaystyle M+m}$ (см. приведённая масса). При этом массу ${\displaystyle M}$ в последней формуле нужно заменить на ${\displaystyle M+m}$:

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3}.}$

Альтернативный расчёт

Рассмотрим планету как точку массой ${\displaystyle m}$, вращающейся по эллиптической орбите, в двух положениях:

1. перигелий с радиус-вектором ${\displaystyle r_{1}=a-c}$, скоростью ${\displaystyle V_{1}}$;
2. афелий с радиус-вектором ${\displaystyle r_{2}=c+a}$, скоростью ${\displaystyle V_{2}}$.

Запишем закон сохранения момента импульса

${\displaystyle mV_{1}r_{1}=mV_{2}r_{2}}$

и закон сохранения энергии

${\displaystyle {\frac {mV_{1}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{r_{1}}}={\frac {mV_{2}^{2}}{2}}-{\frac {GmM}{r_{2}}}}$ ,

где M — масса Солнца.

Решая систему, нетрудно получить соотношение на скорость планеты в точке «перигелий»:

${\displaystyle V_{1}={\sqrt {2GM{\frac {r_{2}/r_{1}}{r_{1}+r_{2}}}}}}$ .

Выразим секторную скорость (которая по второму закону Кеплера является постоянной величиной):

${\displaystyle V_{s}=1/2\cdot V_{1}r_{1}={\sqrt {GM{\frac {r_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{2})}}}}}$ .

Вычислим площадь эллипса, по которому движется планета. С одной стороны:

${\displaystyle S_{ellipse}=\pi ab}$

где ${\displaystyle a}$ — длина большой полуоси, ${\displaystyle b}$ — длина малой полуоси орбиты.

С другой стороны, воспользовавшись тем, что для вычисления площади сектора можно перемножить секторную скорость на период оборота:

${\displaystyle S_{ellipse}=V_{s}\cdot T=T\cdot {\sqrt {\frac {GMr_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{2})}}}}$ .

Следовательно,

${\displaystyle T\cdot {\sqrt {\frac {GMr_{2}r_{1}}{2(r_{1}+r_{2})}}}=\pi ab}$ .

Для дальнейших преобразований воспользуемся геометрическими свойствами эллипса. Имеем соотношения

${\displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}}$

${\displaystyle r_{1}+r_{2}=2a}$

${\displaystyle r_{1}\cdot r_{2}=a^{2}-c^{2}=b^{2}}$

Подставим в формулу площади эллипса:

${\displaystyle T\cdot {\sqrt {GM{\frac {b^{2}}{4a}}}}=\pi ab}$

Откуда окончательно получим:

${\displaystyle {\frac {T}{a^{3/2}}}=const}$

или в традиционном виде

${\displaystyle {\frac {T^{2}}{a^{3}}}=const.}$

Примечания

1. Holton, Gerald James. Physics, the Human Adventure: From Copernicus to Einstein and Beyond / Holton, Gerald James, Brush, Stephen G.. — 3rd paperback. —  : Rutgers University Press, 2001. — P. 40–41. — .   (неопр.). Дата обращения: 12 декабря 2021. Архивировано 12 декабря 2021 года.
2. Astronomia nova Aitiologitis, seu Physica Coelestis tradita Commentariis de Motibus stellae Martis ex observationibus G.V. Tychnonis. Prague 1609.
3. Johannes Kepler, Harmonices Mundi [The Harmony of the World] (Linz, (Austria): Johann Planck, 1619), book 5, chapter 3, p. 189.

См. также

• Закон всемирного тяготения
• (Задача Бертрана)
• Задача двух тел
• Задача трёх тел

Литература

• Кеплера законы // (Энциклопедический словарь) юного астронома / сост. Н. П. Ерпылев. — 2-е изд. — М.: Педагогика, 1986. — С. 121—122. — 336 с.
• (Смородинский Я. A.) Планеты движутся по эллипсам // (Квант). — 1979. — № 12. — С. 13—19.
• Трефил, Дж. Законы Кеплера : [ 28 марта 2016] // Элементы. — Из кн. Трефил Дж. Природа науки. 200 законов мироздания. (Geleos, 2007.) = The Nature of Science. (2003) = James Trefil. Cassel's Laws of Nature: An A–Z of Laws and Principles Governing the Workings of Our Universe. (2002).