Измеримое пространство — это пара , где — множество, а — некоторая -алгебра его подмножеств.
Основные сведения
Под измеримым топологическим пространством понимается измеримое пространство , в котором выбрана
— алгебра
, порождённая некоторой базой множеств топологического пространства X. Минимальная
— алгебра, содержащая все открытые множества, называется борелевской
— алгеброй пространства X; при этом множества
называются борелевскими.
Измеримое пространство называется (сепарабельным), если существует некоторая счётная система множеств
, отделяющая точки пространства
и порождающая соответствующую
— алгебру
. Говорят, что система множеств
, отделяет точки пространства
, если для любых
найдутся непересекающиеся множества
такие, что
.
Произведением измеримых пространств и
называется измеримое пространство
,
, в котором
— алгебра
, порождена произведением
— алгебр
и
, то есть
порождается полукольцом
всевозможных прямоугольных множеств вида
, где
,
.
Пусть — некоторое измеримое пространство, а
— конечное множество индексов
. Измеримое пространство
, где
является
- кратным произведением пространства само на себя, а
— алгебра
есть
- кратное произведение соответствующих
— алгебр
, называется измеримым координатным пространством. Точки
этого пространства
задаются координатами
. Если
произвольное множество, то координатное пространство
определяется как совокупность всех функций
на множестве
со значениями в пространстве
(отдельные значения
можно интерпретировать как координаты точки
, принадлежащей пространству
).
Пусть — произвольные точки множества
, где
- конечное число, и
— произвольные подмножества пространства
. Множество вида
,
принадлежащие пространству , называется цилиндрическим множеством в
. Другими словами, цилиндрическое множество состоит из тех и только тех точек
, координаты которых
входит в соответствующие множества
. Система всех цилиндрических множеств, для которых
входят в
— алгебру
пространства
, представляют собой (полукольцо)
. Измеримым координатным пространством
называется пространство
с
— алгеброй
, порождённой полукольцом
.
Пусть ,
—
— алгебра, порождённая полукольцом
всевозможных цилиндрических множеств с произвольными индексами
. Если точка
пространства
входит во множество
из
и другая точка
такова, что соответствующие координаты этих точек совпадают:
при всех
, то
также входит в
. Всякое множество A из
— алгебры
принадлежит одновременно некоторой
— алгебры
, где
- некоторое счётное множество (зависящее, вообще говоря, от рассматриваемого множества S).
Пусть — функция на измеримом пространстве
со значениями в произвольном пространстве
. Совокупность
всех множеств
таких, что прообразы
входят в
-алгебру
пространства
является
-алгеброй.
Пусть произвольное пространство и
— функция на
со значениями в измеримом пространстве
. Совокупность
всех множеств
являющихся прообразами
из
— алгебры
:
является
-алгеброй.
Пусть ,
— измеримые пространства. Функция
называется (
) измеримой, если для
прообраз
входит в
-алгебру
. Если
некоторая система множеств, порождающая
-алгебру
, то функция
является измеримой тогда, и только тогда, когда для любого
прообраз
входит в
.
Примечание
- (Прохоров Ю. В.), Розанов Ю. А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы) — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. — 496 стр.
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер