Конденсат Бозе-Эйнштейна

Конденса́т Бо́зе—Эйнште́йна (бо́зе-эйнште́йновский конденса́т, бо́зе-конденса́т) — агрегатное состояние вещества, основу которого составляют (бозоны), охлаждённые до температур, близких к (абсолютному нулю) (меньше миллионной доли кельвина). В таком сильно охлаждённом состоянии достаточно большое число атомов оказывается в своих минимально возможных квантовых состояниях, и квантовые эффекты начинают проявляться на (макроскопическом уровне).

Теоретически предсказан как следствие из законов квантовой механики Альбертом Эйнштейном на основе работ (Шатьендраната Бозе) в 1925 году. 70 лет спустя, в 1995 году, первый бозе-конденсат был получен в (Объединённом институте лабораторной астрофизики) (JILA) (относящемся к (Университету штата Колорадо в Боулдере) и Национальному институту стандартов) (Эриком Корнеллом) и (Карлом Виманом). Учёные использовали газ из атомов рубидия, охлаждённый до 170 нанокельвинов (нК) (1,7⋅10⁻⁷ К). За эту работу им, совместно с (Вольфгангом Кеттерле) из Массачусетского технологического института, была присуждена .

Теория

Замедление атомов с использованием охлаждающей аппаратуры позволяет получить сингулярное квантовое состояние, известное как конденсат Бозе, или Бозе — Эйнштейна. Результатом усилий Бозе и Эйнштейна стала концепция бозе-газа, подчиняющегося статистике Бозе — Эйнштейна, которая описывает статистическое распределение тождественных частиц с целым спином, называемых бозонами. Бозоны, которыми являются, например, и отдельные элементарные частицы — фотоны, и целые атомы, могут находиться друг с другом в одинаковых квантовых состояниях. Эйнштейн предположил, что охлаждение атомов — бозонов до очень низких температур заставит их перейти (или, по-другому, сконденсироваться) в наинизшее возможное квантовое состояние. Результатом такой конденсации станет возникновение новой фазы вещества.

Этот переход возникает ниже критической температуры, которая для однородного трёхмерного газа, состоящего из невзаимодействующих частиц без каких-либо внутренних степеней свободы, определяется формулой

${\displaystyle T_{c}=\left({\frac {n}{\zeta (3/2)}}\right)^{2/3}{\frac {h^{2}}{2\pi mk_{B}}},}$

где ${\displaystyle T_{c}}$ — критическая температура, ${\displaystyle n}$ — концентрация частиц, ${\displaystyle m}$ — масса, ${\displaystyle h}$ — постоянная Планка, ${\displaystyle k_{B}}$ — (постоянная Больцмана), ${\displaystyle \zeta }$ — дзета-функция Римана, ${\displaystyle \zeta (3/2)=2{,}6124\ldots }$.

Вывод критической температуры

Согласно статистике Бозе — Эйнштейна, количество частиц в заданном состоянии ${\displaystyle i}$ равняется

${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/k_{B}T}-1}},}$

где ${\displaystyle \varepsilon _{i}>\mu }$, ${\displaystyle n_{i}}$ — количество частиц в состоянии ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle g_{i}}$ — (вырождение) уровня ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ — энергия состояния ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle \mu }$ — химический потенциал системы.

Найдём температуру, при которой химический потенциал будет равен нулю. Рассмотрим случай свободных (невзаимодействующих) частиц с параболическим законом дисперсии ${\displaystyle \varepsilon _{i}={\frac {p^{2}}{2m}}}$. Проинтегрировав по фазовому пространству получим

${\displaystyle N=\sum _{i}{\frac {1}{e^{\varepsilon _{i}/k_{B}T}-1}}={\frac {V}{h^{3}}}\int d^{3}p{1 \over e^{p^{2} \over 2mk_{B}T}-1}={\frac {V}{h^{3}}}4\pi {\sqrt {2}}(mk_{B}T)^{3/2}\int \limits _{0}^{\infty }dx{\frac {\sqrt {x}}{e^{x}-1}}={\frac {V}{h^{3}}}(2\pi mk_{B}T)^{3/2}\zeta (3/2)}$.

Откуда уже получается искомое

${\displaystyle T_{c}=\left({\frac {n}{\zeta (3/2)}}\right)^{2/3}{\frac {h^{2}}{2\pi mk_{B}}}}$.

Модель Эйнштейна

Рассмотрим набор из ${\displaystyle N}$ невзаимодействующих частиц, каждая из которых может находиться в двух (состояниях), ${\displaystyle |0\rangle }$ и ${\displaystyle |1\rangle .}$ Если энергии обоих состояний одинаковы, то все возможные конфигурации равновероятны.

Для различимых частиц имеется ${\displaystyle 2^{N}}$ различных конфигураций, поскольку каждая частица независимо и с равной вероятностью попадает в состояния ${\displaystyle |0\rangle }$ или ${\displaystyle |1\rangle .}$ При этом практически во всех состояниях количество частиц в состоянии ${\displaystyle |0\rangle }$ и в состоянии ${\displaystyle |1\rangle }$ почти равно. Это равновесие является статистическим эффектом: чем меньше разность между количествами частиц в обоих состояниях, тем большим количеством конфигураций (микросостояний) системы она реализуется.

Однако если мы считаем частицы неразличимыми, то система имеет всего лишь ${\displaystyle N+1}$ различных конфигураций. Каждой конфигурации можно сопоставить число ${\displaystyle K}$ частиц, находящихся в состоянии ${\displaystyle |1\rangle }$ (и ${\displaystyle N-K}$ частиц, находящихся в состоянии ${\displaystyle |0\rangle }$); при этом ${\displaystyle K}$ может изменяться от 0 до ${\displaystyle N}$. Поскольку все эти конфигурации равновероятны, то статистически никакой концентрации не происходит — доля частиц, находящихся в состоянии ${\displaystyle |1\rangle ,}$ распределена равномерно по отрезку [0, 1]. Конфигурация, когда все частицы находятся в состоянии ${\displaystyle |0\rangle ,}$ реализуется с той же вероятностью, что и конфигурация с половиной частиц в состоянии ${\displaystyle |0\rangle }$ и половиной — в состоянии ${\displaystyle |1\rangle ,}$ или конфигурация со всеми частицами в состоянии ${\displaystyle |1\rangle .}$

Если теперь предположить, что энергии двух состояний различны (для определённости, пусть энергия частицы в состоянии ${\displaystyle |1\rangle }$ выше, чем в состоянии ${\displaystyle |0\rangle ,}$ на величину ${\displaystyle E}$), то при температуре ${\displaystyle T}$ частица будет с большей вероятностью находиться в состоянии ${\displaystyle |0\rangle }$. Отношение вероятностей равно ${\displaystyle \exp(-E/k_{B}T)}$.

В случае различимых частиц их количество в первом и втором состояниях не будет равно, но отношение населённостей будет всё же близко к единице вследствие вышеуказанного статистического стремления системы к конфигурациям, где разность населённостей невелика (эти макросостояния обеспечиваются наибольшим числом конфигураций).

Напротив, когда частицы неразличимы, распределение населённостей существенно сдвигается в пользу состояния ${\displaystyle |0\rangle ,}$ и с увеличением числа частиц этот сдвиг будет увеличиваться, поскольку нет никакого статистического давления в сторону малой разности населённостей, и поведение системы определяется лишь большей вероятностью для частицы (при любой конечной температуре) занять более низкоэнергетический уровень.

Каждое значение ${\displaystyle K}$ задаёт для неразличимых частиц определённое состояние системы, вероятность которого описывается (больцмановским распределением) с учётом того, что энергия системы в состоянии ${\displaystyle K}$ равна ${\displaystyle KE}$ (поскольку ровно ${\displaystyle K}$ частиц занимают уровень с энергией ${\displaystyle E}$). Вероятность нахождения системы в этом состоянии:

${\displaystyle P(K)=Ce^{-KE/k_{B}T}=Cp^{K}}$.

Для достаточно больших ${\displaystyle N}$ нормировочная константа ${\displaystyle C}$ равна ${\displaystyle (1-p)}$. Ожидаемое число частиц в состоянии ${\displaystyle |1\rangle }$ в пределе ${\displaystyle N\rightarrow \infty }$ равно ${\textstyle \sum \limits _{n>0}Cnp^{n}=p/(1-p)}$. При больших ${\displaystyle N}$ эта величина практически перестаёт расти и стремится к константе, то есть при большом числе частиц относительная населённость верхнего уровня пренебрежимо мала. Таким образом, в термодинамическом равновесии большинство бозонов будут находиться в состоянии с наименьшей энергией, и лишь малая доля частиц будет в другом состоянии, вне зависимости от того, насколько мала разница уровней энергии.

Рассмотрим теперь газ из частиц, каждая из которых может находиться в одном из импульсных состояний, которые пронумерованы и обозначены как ${\displaystyle |k\rangle .}$ Если число частиц гораздо меньше, чем число доступных при данной температуре состояний, все частицы будут находиться на разных уровнях, то есть газ в этом пределе ведёт себя как классический. При увеличении плотности или уменьшении температуры число частиц на один доступный уровень энергии увеличивается, и в какой-то момент число частиц в каждом состоянии дойдёт до максимально возможного числа частиц в данном состоянии. Начиная с этого момента, все новые частицы будут вынуждены переходить в состояние с наименьшей энергией.

Чтобы рассчитать температуру фазового перехода при данной плотности, необходимо проинтегрировать по всем возможным импульсам выражение для максимального числа частиц в возбуждённом состоянии, ${\textstyle p/(1-p)}$:

${\displaystyle N=V\int {d^{3}k \over (2\pi )^{3}}{p(k) \over 1-p(k)}=V\int {d^{3}k \over (2\pi )^{3}}{1 \over e^{k^{2} \over 2mk_{B}T}-1},}$

${\displaystyle p(k)=e^{-k^{2} \over 2mk_{B}T}.}$

При вычислении этого интеграла и подстановке множителя ħ для обеспечения требуемых размерностей получается формула для критической температуры из предыдущего раздела. Таким образом, этот интеграл определяет критическую температуру и концентрацию частиц, соответствующие условиям пренебрежимо малого химического потенциала. Согласно статистике Бозе — Эйнштейна, ${\displaystyle \mu }$ не обязано строго равняться нулю для возникновения бозе-конденсата; однако ${\displaystyle \mu }$ меньше энергии основного состояния системы. Ввиду этого, при рассмотрении большинства уровней химический потенциал может считаться приблизительно нулевым, за исключением случаев, когда исследуется основное состояние.

История

В (1924 году) в журнале (Zeitschrift für Physik) вышла статья (Шатьендраната Бозе) о квантовой статистике световых квантов (теперь называемых фотонами), в которой он вывел (квантовый закон излучения Планка) без какой-либо ссылки на классическую физику. Сначала Бозе послал эту статью Эйнштейну, тот был так впечатлён, что сам перевёл документ с английского на немецкий язык и передал его Бозе для публикации. Рукопись Эйнштейна долгое время считалась потерянной, но в 2005 году была найдена в библиотеке Лейденского университета.

В 1925 году, на основе работы Бозе, Эйнштейн теоретически предсказал существование конденсата Бозе — Эйнштейна, как следствие из законов квантовой механики. Затем Эйнштейн расширил идеи Бозе в других работах. Результатом их усилий стала концепция (бозе-газа), который управляется статистикой Бозе — Эйнштейна. Она описывает статистическое распределение неразличимых частиц с целочисленным спином, теперь называемых бозонами. Бозоны, которые включают в себя фотоны, а также атомы, такие как гелий-4, могут занимать одно и то же квантовое состояние. Эйнштейн предположил, что охлаждение бозонных атомов до очень низкой температуры приведёт к их падению (или «конденсации») в самое низкое доступное квантовое состояние, что приведёт к новой форме материи.

В (1938 году) (Фриц Лондон) предположил, что конденсат Бозе — Эйнштейна является механизмом возникновения (сверхтекучести) в ⁴He и сверхпроводимости.

В 1995 году (Эрику Корнеллу) и (Карлу Вимену) из (Национального института стандартов и технологий США) при помощи (лазерного охлаждения) удалось охладить около 2 тысяч атомов рубидия-87 до температуры 20 нанокельвинов и экспериментально подтвердить существование конденсата Бозе — Эйнштейна в газах, за что они совместно с (Вольфгангом Кеттерле), который четыре месяца спустя получил конденсат Бозе — Эйнштейна из атомов натрия с использованием (принципа удержания атомов в магнитной ловушке), в 2001 году были удостоены Нобелевской премии по физике.

В (2000 году) группе учёных из Гарвардского университета удалось замедлить свет до скорости много меньшей, чем 0,2 мм/с, направив его на конденсат Бозе — Эйнштейна рубидия. До этого наименьшая официально зарегистрированная скорость света в среде была чуть больше 60 км/ч — сквозь пары натрия при температуре −272 °C.

В (2010 году) был впервые получен бозе-эйнштейновский конденсат фотонов.

К 2012 году, используя сверхнизкие температуры 10⁻⁷K и ниже, удалось получить конденсаты Бозе — Эйнштейна для множества отдельных изотопов: (⁷Li, ²³Na, ³⁹K, ⁴¹K, ⁸⁵Rb, ⁸⁷Rb, ¹³³Cs, ⁵²Cr, ⁴⁰Ca, ⁸⁴Sr, ⁸⁶Sr, ⁸⁸Sr, ¹⁷⁴Yb, ¹⁶⁴Dy, и ¹⁶⁸Er).

В (2014 году) сотрудникам Лаборатории холодного атома (Cold Atom Laboratory, CAL) НАСА и учёным из Калифорнийского технологического института в Пасадине удалось создать конденсат Бозе — Эйнштейна в земном прототипе установки, предназначенной для работы на Международной космической станции. Полнофункциональная установка для создания конденсата Бозе — Эйнштейна в условиях невесомости была отправлена на МКС летом 2018 года. В 2020 году на ней был впервые получен конденсат Бозе — Эйнштейна на борту МКС.

В (2018 году) российские физики под руководством (Игоря Ткачёва) разработали теорию, согласно которой могут существовать объекты размером со звезду, состоящие из бозонов, которые при взаимодействии посредством гравитации формируют конденсат Бозе — Эйнштейна за конечное время, эти гипотетические объекты являются кандидатами на роль холодной тёмной материи.

В 2020 году исследователи сообщили о создании сверхпроводящего конденсата Бозе — Эйнштейна и о том, что, по-видимому, существует «плавный переход между» режимами БЭК и сверхпроводимостью в (теории Бардина–Купера–Шриффера).

В (2022 году) исследователи сообщили о первом создании конденсата Бозе — Эйнштейна в непрерывном режиме. Ранее из-за ограничений возможностей испарительного охлаждения все исследователи были ограничены лишь импульсным режимом работы с БЭК, включающим очень неэффективный рабочий цикл, при котором более 99 % атомов теряются до перехода в состояние БЭК. Создание условия для конденсации конденсата Бозе — Эйнштейна в непрерывном режиме стало важной вехой экспериментальных исследований БЭК.

Примечания

1. A.Douglas Stone, Chapter 24, The Indian Comet, in the book Einstein and the Quantum, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 2013.
2. S. N. Bose. Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese (нем.) // (Zeitschrift für Physik) : magazin. — 1924. — Bd. 26, Nr. 1. — S. 178—181. — doi:10.1007/BF01327326. — (Bibcode): 1924ZPhy...26..178B.
3. Leiden University Einstein archive  (неопр.). Lorentz.leidenuniv.nl (27 октября 1920). Дата обращения: 23 марта 2011. 19 мая 2015 года.
4. A. Einstein. Quantentheorie des einatomigen idealen Gases (неопр.) // Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften. — 1925. — Т. 1. — С. 3.
5. Clark, Ronald W. Einstein: The Life and Times (неопр.). — ^[англ.], 1971. — С. 408—409. — .
6. London, F. Superfluids. — Vol. I and II, (reprinted New York: Dover, 1964)
7. Пятое состояние вещества  (неопр.). Lenta.ru (30 ноября 2010). Дата обращения: 23 июня 2018. 7 апреля 2014 года.
8. [https://web.archive.org/web/20110208033459/http://scienceblog.ru/2008/06/18/uchenyie-zamedlili-skorost-sveta-do-02-millimetra-v-sekundu/ Архивная копия от 8 февраля 2011 на Wayback Machine Учёные замедлили скорость света до 0,2 миллиметра в секунду] от 8 февраля 2011 на Wayback Machine // ScienceBlog.ru — научный блог.
9. Слепов Н. О свете медленном и быстром. По следам презентации Р. Бойда на OFC-2006 // Фотоника. — 2007. — Вып. 1. — С. 16—27. 20 апреля 2014 года.
10. Hau L. V. et al. Light speed reduction to 17 metres per second in an ultracold atomic gas (англ.) // Nature. — 1999. — No. 397. — P. 594. — ISSN 0028-0836. 2 ноября 2012 года.
11. "Немецкие физики научились охлаждать и конденсировать свет". РИА Новости. 2010-11-25. 28 ноября 2010. Дата обращения: 23 июня 2018.
12. "Physicists Create New Source of Light: Bose–Einstein Condensate 'Super-Photons'" (англ.). . 2010-11-24. 23 декабря 2010. Дата обращения: 23 июня 2018.
13. Jan Klaers, Julian Schmitt, Frank Vewinger, Martin Weitz. Bose–Einstein condensation of photons in an optical microcavity (англ.) // Nature. — 2010. — Vol. 468. — P. 545—548.
14. Dale G. Fried; Thomas C. Killian; Lorenz Willmann; David Landhuis; Stephen C. Moss; Daniel Kleppner; Thomas J. Greytak. Bose–Einstein Condensation of Atomic Hydrogen (англ.) // (Phys. Rev. Lett.) : journal. — 1998. — Vol. 81, no. 18. — P. 3811. — doi:10.1103/PhysRevLett.81.3811. — (Bibcode): 1998PhRvL..81.3811F.
15. Elizabeth Landau Cold Atom Laboratory Creates Atomic Dance от 8 июля 2021 на Wayback Machine // NASA.
16. | «Nature» 582, pages193-197 (2020): Observation of Bose–Einstein condensates in an Earth-orbiting research lab  (неопр.). Дата обращения: 11 июня 2020. 12 июня 2020 года.
17. D. G. Levkov, A. G. Panin, and I. I. Tkachev. Gravitational Bose–Einstein Condensation in the Kinetic Regime // Phys. Rev. Lett.. — 2018. — Т. 121. — С. 151301. 12 января 2019 года.
18. "Researchers demonstrate a superconductor previously thought impossible". phys.org (англ.). 4 марта 2022. Дата обращения: 8 декабря 2020. {{}}: Указан более чем один параметр |accessdate= and |access-date= ()
19. Hashimoto, Takahiro; Ota, Yuichi; Tsuzuki, Akihiro; Nagashima, Tsubaki; Fukushima, Akiko; Kasahara, Shigeru; Matsuda, Yuji; Matsuura, Kohei; Mizukami, Yuta; Shibauchi, Takasada; Shin, Shik; Okazaki, Kozo (1 November 2020). "Bose–Einstein condensation superconductivity induced by disappearance of the nematic state". Science Advances (англ.). 6 (45): eabb9052. (Bibcode):2020SciA....6.9052H. doi:10.1126/sciadv.abb9052. ISSN 2375-2548. PMC 7673702. PMID 33158862.
20. Chun-Chia Chen; Rodrigo González Escudero; Jiří Minář; Benjamin Pasquiou; Shayne Bennetts; Florian Schreck (2022). "Continuous Bose–Einstein Condensation". (Nature). 606 (7915): 683—687. (Bibcode):2022Natur.606..683C. doi:10.1038/s41586-022-04731-z. PMC 9217748. PMID 35676487. S2CID 237532099.

Ссылки

• // Компьютерра.
• Бозе — Эйнштейна конденсация // Физическая энциклопедия.
• Кибис О. В. Эффект Бозе-эйнштейновской конденсации // Соросовский образовательный журнал. — 2000. — № 11. — С. 90—95.
• Видеоролик по опытам в космосе