Метрический тензор

Не следует путать с метрическим пространством — множеством, в котором определено расстояние между любой парой элементов.

У этого термина существуют и другие значения, см. Метрика.

Метри́ческий те́нзор, или ме́трика, — симметричное (тензорное поле) ранга (0,2) на гладком многообразии, посредством которого задаётся скалярное произведение векторов в (касательном пространстве). Иначе говоря, метрический тензор задаёт билинейную форму на касательном пространстве к этой точке, обладающую свойствами скалярного произведения и гладко зависящую от точки.

Метрический тензор позволяет определить длины кривых, углы между кривыми, объём и другие понятия свойственные евклидову пространству. В частном случае поверхности метрика также называется (первой квадратичной формой).

В общей теории относительности метрика рассматривается в качестве фундаментального физического поля (гравитационного) на четырёхмерном многообразии физического пространства-времени. Широко используется и в других построениях теоретической физики, в частности, в биметрических теориях гравитации на пространстве-времени рассматривают сразу две метрики.

Далее в формулах этой статьи с повторяющимися индексами везде подразумевается суммирование по (правилу Эйнштейна), то есть по каждому повторяющемуся индексу.

Способы задания

Координатное представление

Метрический тензор имеет ранг ${\displaystyle (0,2)}$. В локальных координатах ${\displaystyle x^{1},x^{2},\dots ,x^{n}}$, обычно задаётся как ковариантное тензорное поле ${\displaystyle g_{ij}\ }$. Через него определяются скалярные произведения координатных векторных полей ${\displaystyle \partial _{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$:

${\displaystyle \left\langle \partial _{i},\partial _{j}\right\rangle =g_{ij}.}$

А для любых векторных полей скалярное произведение вычисляется по формуле

${\displaystyle \left\langle v,w\right\rangle =g_{ij}v^{i}w^{j}}$,

где ${\displaystyle v=v^{i}\partial _{i}\ ,w=w^{i}\partial _{i}}$ — представление векторных полей в локальных координатах.

Замечания

Иногда метрический тензор задаётся двойственным способом, с помощью контравариантного тензора ${\displaystyle g^{ij}}$.

В случае невырожденных метрик

${\displaystyle g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i},}$

где ${\displaystyle \delta _{k}^{i}}$ — (символ Кронекера). В этом случае оба способа эквивалентны, и оба представления метрики бывают полезны.

Для вырожденных метрик иногда удобнее пользоваться именно контравариантной метрикой. Например, может быть определена через тензор ${\displaystyle g^{ij}}$, но тензор ${\displaystyle g_{ij}}$ для неё не определён.

Представление в поле реперов

Иногда удобно задавать метрический тензор через выбранное (не обязательно координатное, как это описано выше) поле (реперов), то есть выбором реперного поля ${\displaystyle \{e_{i}(p)\}}$ и матрицы ${\displaystyle g_{ik}(p)=\langle e_{i}(p),e_{k}(p)\rangle }$.

Например, риманов метрический тензор может быть задан ортонормированным полем (реперов).

Индуцированная метрика

Метрика, которая индуцируется гладким (вложением) ${\displaystyle r}$ многообразия ${\displaystyle M}$ в евклидово пространство ${\displaystyle E}$, может быть посчитана по формуле:

${\displaystyle g=J_{r}^{T}J_{r},}$

где ${\displaystyle J_{r}}$ означает (матрицу Якоби) вложения ${\displaystyle r}$ и ${\displaystyle J_{r}^{T}}$ — транспонированная к ней. Иначе говоря, скалярные произведения базисных координатных векторов касательного пространства ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$, которые в этом случае можно отождествить с ${\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial x_{i}}}}$, определяются как

${\displaystyle g_{ij}=g\left({\frac {\partial }{\partial x_{i}}},{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right)=\left\langle {\frac {\partial r}{\partial x_{i}}},{\frac {\partial r}{\partial x_{j}}}\right\rangle ,}$

где ${\displaystyle \langle *,*\rangle }$ обозначает скалярное произведение в ${\displaystyle E}$.

Более обобщенно

Пусть ${\displaystyle (N,h)}$ многообразие с метрикой и ${\displaystyle r:M\to N}$ гладкое вложение. Тогда метрика ${\displaystyle g}$ на ${\displaystyle M}$, определённая равенством

${\displaystyle g(X,Y)=h(dr(X),dr(Y))}$

называется индуцированной метрикой. Здесь ${\displaystyle dr}$ обозначает (дифференциал) отображения ${\displaystyle r}$.

Типы метрических тензоров

Совокупность метрических тензоров ${\displaystyle g}$ подразделяется на два класса:

• невырожденные или псевдоримановы метрики, когда ${\displaystyle \ \det(g_{ij})\neq 0}$ во всех точках многообразия. Среди невырожденных метрических тензоров, в свою очередь, различаются:
  • Риманов метрический тензор (или риманова метрика), для которого квадратичная форма является положительно определенной. Многообразие с выделенным римановым метрическим тензором называется римановым, они имеют естественную структуру метрического пространства.
  • Собственно псевдориманов метрический тензор (или индефинитная метрика), когда форма не является знакоопределённой. Многообразие с выделенным псевдоримановым метрическим тензором называется ((собственно) псевдоримановым).
    • К этому классу относится (метрика Лоренца).
• Вырожденные метрики, когда ${\displaystyle \ \det(g_{ij})=0}$ либо ${\displaystyle \ \det(g^{ij})=0}$ в некоторых точках.
  • Многообразие ${\displaystyle M^{n}}$, метрика которого является вырожденной в любой точке, называется изотропным (например, (световой конус) в (пространстве Минковского)).
  • .

Обычно под метрическим тензором без специального на то указания в математике понимается риманов метрический тензор; но если, рассматривая невырожденный метрический тензор, хотят подчеркнуть, что речь идет именно о римановом, а не псевдоримановом метрическом тензоре, то о нём говорят как о собственно римановом метрическом тензоре. В физике под метрическим тензором обычно подразумевают лоренцеву метрику пространства-времени.

Иногда под псевдоримановым тензором и псевдоримановым многообразием понимают то, что выше определено как собственно псевдоримановы метрика и многообразие, а для первых сохраняется только термин «невырожденная метрика» и соответственно «многообразие с невырожденной метрикой».

Связанные определения

• Вектор нулевой длины в пространстве с псевдоримановой метрикой называется изотропным (также нулевым или светоподобным) и задает определенное изотропное направление на многообразии; например, свет в пространственно-временном континууме путешествует вдоль изотропных направлений.
• Многообразие с выделенным римановым метрическим тензором называется римановым многообразием.
• Многообразие с выделенным псевдоримановым метрическим тензором называется (псевдоримановым многообразием).
• Метрики на многообразии называются геодезически эквивалентными, если их (геодезические) (рассматриваемые как непараметризованные кривые) совпадают.

Свойства

• Риманов метрический тензор может быть введён на любом (паракомпактном) гладком многообразии.
• Риманов метрический тензор индуцирует на многообразии естественную структуру метрического пространства
• Индефинитная метрика не порождает метрического пространства. Однако на её основе может быть, по крайней мере в некоторых случаях, специальным образом построена топология (см. ), вообще говоря, не совпадающая с естественной топологией многообразия.

Метрика и объём

Определитель матрицы метрического тензора ${\displaystyle |\det\{g_{ij}\}|}$ дает квадрат объема параллелепипеда, натянутого на базисные векторы. (В ортонормированных базисах это единица).

Поэтому величина ${\displaystyle {\sqrt {|\det\{g_{ij}\}|}}}$ играет важную роль при вычислении объемов, а также при интегрировании по объему. В частности, ${\displaystyle {\sqrt {|\det\{g_{ij}\}|}}}$ входит в общее выражение (тензора Леви-Чивиты), используемого для вычисления (смешанного произведения), векторного произведения и их многомерных аналогов.

Интегрирование же по объему включает этот множитель, например, при необходимости проинтегрировать в координатах какой-то скаляр (чтобы результат был инвариантным):

${\displaystyle S=\int s(x)\,d\Omega =\int s(x){\sqrt {|\det\{g_{ij}\}|}}\,dx^{1}\,dx^{2}\,\ldots \,dx^{n},}$

где ${\displaystyle d\Omega }$ — это элемент ${\displaystyle n}$-мерного объема, а ${\displaystyle dx^{i}}$ — (дифференциалы) координат.

• Для подмногообразий объём (площадь) определяется как объём (площадь) относительно индуцированной метрики.

Примеры

• Метрический тензор на евклидовой плоскости:
  • В прямоугольных декартовых координатах единичного масштаба метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и представлен единичной матрицей (его компоненты равны (символу Кронекера))

    ${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ g_{ij}=\delta _{ij}}$

  • В прямоугольных декартовых координатах неединичного масштаба метрический тензор представлен постоянной (не зависящей от координат) диагональной матрицей, ненулевые компоненты которой определяются масштабом по каждой оси (вообще говоря они не равны).
  • В косоугольных декартовых координатах метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и положительно определён, но в остальном, вообще говоря, представлен произвольной симметричной матрицей.
  • В (полярных координатах): ${\displaystyle (r,\theta )}$

    ${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}\ }$

• Метрический тензор на сфере. Сфера (двумерная) радиуса ${\displaystyle R}$, вложенная в трехмерное пространство, имеет естественную метрику, индуцированную евклидовой метрикой объемлющего пространства. В стандартных сферических координатах ${\displaystyle (\theta ,\varphi )}$ метрика принимает вид:

  ${\displaystyle g={\begin{bmatrix}R^{2}&0\\0&R^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.}$

• Метрический тензор для трёхмерного евклидова пространства:
  • В прямоугольных декартовых координатах единичного масштаба метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и представлен единичной матрицей (его компоненты равны (символу Кронекера))

    ${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \ g_{ij}=\delta _{ij}}$

  • В прямоугольных декартовых координатах неединичного масштаба метрический тензор представлен постоянной (не зависящей от координат) диагональной матрицей, ненулевые компоненты которой определяются масштабом по каждой оси (вообще говоря они не равны).
  • В косоугольных декартовых координатах метрический тензор постоянен (не зависит от координат) и положительно определён, но в остальном, вообще говоря, представлен произвольной симметричной матрицей.
  • В (сферических координатах): ${\displaystyle (r,\theta ,\phi )}$:

    ${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}.}$

• (Метрика Лоренца) (Метрика Минковского).
• (Метрика Шварцшильда)

Изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами

Метрический тензор устанавливает (изоморфизм) между (касательным пространством) и (кокасательным пространством): пусть ${\displaystyle v\in T_{p}M}$ — вектор из касательного пространства, тогда для метрического тензора ${\displaystyle g}$ на ${\displaystyle M}$, мы получаем, что ${\displaystyle g(v,\cdot )}$, то есть отображение, которое переводит другой вектор ${\displaystyle w\in T_{p}M}$ в число ${\displaystyle g(v,w)}$, является элементом (дуального пространства) линейных функционалов (1-форм) ${\displaystyle T_{p}^{*}M}$. Невырожденность метрического тензора (если или где она есть) превращает это отображение в биекцию, а тот факт, что ${\displaystyle g}$ сам по себе есть тензор, делает это отображение независимым от координат.

Для тензорных полей это позволяет «поднимать и опускать индексы» у любого тензорного поля (жаргонное название — «жонглирование индексами»). В компонентах операция поднятия-опускания индекса, выглядит так:

${\displaystyle \ g_{ij}v^{j}=v_{i}}$ — опускание индекса для вектора,

${\displaystyle \ g^{ij}v_{j}=v^{i}}$ — поднятие индекса для вектора,

${\displaystyle \ g^{ij}g_{mn}T_{j\ \ \ pq}^{\ nrs}=T_{\ m\ \ pq}^{i\ \ rs}}$ — пример одновременного поднятия индекса ${\displaystyle j}$ и опускания индекса ${\displaystyle n}$ для тензора большой валентности.

(К скалярам эта операция, естественно, не применяется).

Для тензороподобных объектов (не являющихся тензорами), как например (символы Кристоффеля), преобразование контравариантных компонент в ковариантные и обратно определяется, как правило, так же, как и для тензорных. При желании жонглирование можно применить и к (матрицам Якоби), только в этом случае нужно проследить за тем, что метрика для поднятия-опускания первого индекса будет, конечно, вообще говоря, отличаться от метрики для такой же операции со вторым.

См. также

• (Тензор кривизны)
• (Ковариантная производная)
• Метрическое пространство

Примечания

1. См., например,
   • Картан Э. Ж. Риманова геометрия в ортогональном репере. — М.: изд-во МГУ, [1926-1927]1960
   • Картан Э. Ж. Теория конечных непрерывных групп и дифференциальная геометрия изложенная методом подвижного репера. — М.: изд-во МГУ, [1930]1963