Отноше́ние — математическая структура, которая формально определяет свойства различных объектов и их взаимосвязи. Распространёнными примерами отношений в математике являются равенство (=), делимость, подобие, параллельность и многие другие.
Понятие отношения как подмножества декартова произведения формализовано в теории множеств и получило широкое распространение в языке математики во всех её ветвях. Теоретико-множественный взгляд на отношение характеризует его с точки зрения объёма — какими комбинациями элементов оно наполнено; содержательный подход рассматривается в математической логике, где отношение — (пропозициональная функция), то есть выражение с неопределёнными переменными, подстановка конкретных значений для которых делает его истинным или ложным. Важную роль отношения играют в (универсальной алгебре), где базовый объект изучения раздела — множество с произвольным набором операций и отношений. Одно из самых ярких применений техники математических отношений в приложениях — реляционные системы управления базами данных, методологически основанные на (формальной алгебре отношений).
Отношения обычно классифицируются по количеству связываемых объектов (арность) и собственным свойствам, таким как (симметричность), (транзитивность), (рефлексивность).
Формальные определения и обозначения
-местным (
-арным) отношением
, заданным на множествах
, называется подмножество декартова произведения этих множеств:
. Факт связи
-ки элементов
отношением
обозначается
или
.
Факт связи объектов и
бинарным отношением
обычно обозначают с помощью (инфиксной записи):
. Одноместные (унарные) отношения соответствуют свойствам или атрибутам, как правило, для таких случаев терминология отношений не используется. Иногда используются трёхместные отношения (тернарные), четырёхместные отношения (кватернарные); об отношениях неопределённо высокой арности говорят как о мультиарных («многоместных»).
Универсальное отношение — это отношение, связывающее все элементы заданных множеств, то есть, совпадающее с декартовым произведением: .
Нуль-отношение — отношение, не связывающее никакие элементы, то есть пустое множество: .
Функциональное отношение — отношение, образующее функцию: является функциональным, если из выполнения
и
следует, что
(обеспечивается единственность значения функции).
Общие свойства и виды бинарных отношений
Наиболее распространённые в языке математики отношения — бинарные над одним множеством (), наиболее часто используются обладающие некоторыми общими свойствами:
- (симметричностью) (
) или (антисимметричностью) (
),
- (рефлексивностью) (
) или (антирефлексивностью)
,
- (транзитивностью) (
) или (антитранзитивностью) (
),
- (
).
В зависимости от набора свойств бинарных отношений формируются некоторые широко используемые их виды:
- отношение эквивалентности — всякое (рефлексивное), (транзитивное) и (симметричное) отношение;
- (отношение предпорядка) — рефлексивное и транзитивное;
- (отношение частичного порядка) — рефлексивное, транзитивное и антисимметричное;
- (отношение строгого порядка) — антирефлексивное, транзитивное, антисимметричное;
- (отношение линейного порядка) — связное, рефлексивное, антисимметричное.
Важную роль играет (отношение равенства) — отношение эквивалентности, выполненное только для двух совпадающих элементов.
Могут быть и другие комбинации свойств отношений, например, транзитивно и рефлексивно, но не обладает другими простыми свойствами, отношение делимости на множестве натуральных чисел, обычно обозначаемое символом , оно состоит из пар вида
, где
делит
нацело. Пример тернарного отношения — образование (пифагоровой тройки) тремя числами, нахождение в отношении (пифагоровой четвёрки) — пример кватернарного отношения.
Более свободный набор свойств бинарных отношений применяется в теории графов: неориентированный граф может быть определён как множество вершин с симметричным бинарным отношением над ним, а (ориентированный граф) — как множество вершин с произвольным бинарным отношением над ним.
Алгебры отношений
Все -арные отношения над декартовым произведением
образуют булеву алгебру относительно теоретико-множественных операций (объединения), (пересечения) и дополнения.
(Реляционная алгебра) — замкнутая система операций над отношениями в реляционной модели данных.
Примечания
- В формулах опущены кванторы всеобщности
Литература
- Отношение — статья из Математической энциклопедии. Д. М. Смирнов
- (Колмогоров А. Н.), (Драгалин А. Г.) Введение в математическую логику. — М.: Издательство Московского университета, 1982. — 120 с. — 29 500 экз.
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер