Паракомпактность

Паракомпактное пространство — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать локально конечное открытое покрытие.

При этом: семейство универсальных множеств (${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ множеств), лежащих в топологическом пространстве ${\displaystyle X}$, называется локально конечным в ${\displaystyle X}$, если у каждой точки ${\displaystyle x\in X}$ существует окрестность в ${\displaystyle X}$, пересекающаяся лишь с конечным множеством элементов семейства ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$; семейство ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ множеств вписано в семейство ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ множеств, если каждый элемент семейства ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ содержится в некотором элементе семейства ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$.)

Паракомпактом называется паракомпактное хаусдорфово пространство. Паракомпактность является одним из исходных требований в теории многообразий.

Каждое хаусдорфово паракомпактное пространство . Это позволяет строить на паракомпактах (разбиения единицы), подчинённые произвольному заданному открытому покрытию.

Свойства

• В присутствии паракомпактности некоторые локальные свойства пространства синтезируются и выполняются глобально. В частности,
  • если паракомпакт локально метризуем, то он метризуем;
  • если хаусдорфово пространство локально полно по Чеху и паракомпактно, то оно (полно по Чеху).
• Паракомпактность не наследуется произвольными подпространствами, но каждое замкнутое подпространство паракомпакта есть паракомпакт.
• Произведение двух паракомпактов может паракомпактом не быть.
• В классе хаусдорфовых пространств
  • Прообраз паракомпакта при является паракомпактом,
  • Образ паракомпакта при непрерывном (замкнутом отображении) является паракомпактом.
• К числу паракомпактов относятся, в частности, ^[англ.]. Для пространства всех непрерывных вещественных функций на произвольном (тихоновском пространстве), наделённом топологией поточечной сходимости, паракомпактность равносильна линдолёфовости.
• Если банахово пространство в слабой топологии топологически порождается некоторым лежащим в нём компактом, то оно паракомпактно.
• Все метризуемые пространства паракомпактны (теорема Стоуна) .
  • Паракомпакт метризуем в том и только в том случае, если он обладает базой счётного порядка, то есть базой, любая убывающая последовательность элементов которой, содержащих какую-либо точку ${\displaystyle x\in X}$, непременно образует базу в этой точке.
• Все компакты паракомпактны, но
  • Но не каждое локально компактное хаусдорфово пространство паракомпактно.

Связанные определения

Счётно паракомпактное пространство — топологическое пространство, в любое счётное открытое покрытие которого можно вписать локально конечное открытое покрытие.

Слабо паракомпактное пространство (метакомпактное, точечно паракомпактное) — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать открытое покрытие.

Сильно паракомпактное пространство (гипокомпактное) — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать открытое покрытие.

Субпаракомпактное пространство (F_σ-просеянное) — топологическое пространство, в любое открытое покрытие которого можно вписать замкнутое σ-локально конечное покрытие

Литература

• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.