Пространство Минковского

У этого термина существуют и другие значения, см. (Пространство Минковского (значения)).

Простра́нство (Минко́вского) ― четырёхмерное (псевдоевклидово пространство) (сигнатуры) ${\displaystyle (1,\;3)}$, предложенное в качестве геометрической интерпретации пространства-времени (специальной теории относительности).

Иллюстрация (парадокса близнецов) на диаграмме Минковского.

Каждому событию соответствует точка пространства Минковского, в лоренцевых (или галилеевых) координатах, три координаты которой представляют собой декартовы координаты трёхмерного евклидова пространства, а четвёртая ― координату ${\displaystyle ct}$, где ${\displaystyle c}$ ― скорость света, ${\displaystyle t}$ ― время события. Связь между пространственными расстояниями и промежутками времени, разделяющими события, характеризуется квадратом (интервала):

${\displaystyle s^{2}=c^{2}(t_{1}-t_{0})^{2}-(x_{1}-x_{0})^{2}-(y_{1}-y_{0})^{2}-(z_{1}-z_{0})^{2}.}$

(Нередко в качестве квадрата интервала берётся противоположная величина, выбор знака — вопрос произвольного соглашения. Так, первоначально сам Минковский предложил именно противоположный знак для квадрата интервала).

Интервал в пространстве Минковского играет роль, аналогичную роли расстояния в геометрии евклидовых пространств. Он инвариантен при замене одной инерциальной системы отсчёта на другую так же, как расстояние инвариантно при поворотах, отражениях и сдвигах начала координат в евклидовом пространстве. Роль, аналогичную роли вращений координат в случае евклидова пространства, играют для пространства Минковского преобразования Лоренца.

Квадрат интервала аналогичен квадрату расстояния в евклидовом пространстве. В отличие от последнего квадрат интервала не всегда положителен, также между различными событиями интервал может быть равен нулю.

Связанные определения

• Псевдоевклидова метрика в пространстве Минковского, определяемая приведенной выше формулой для интервала, называется метрикой Минковского или (лоренцевой метрикой). Под лоренцевой метрикой понимают или метрику, явно соответствующую этому определению в выбранных координатах (и определяющую таким образом выбор координат), или метрику, которая может быть сведена к таковой подходящим выбором непрерывных координат. Лоренцев метрический тензор обычно обозначается ${\displaystyle \eta _{ij}}$, он задаёт квадратичную форму сигнатуры ${\displaystyle (1,\;-1,\;-1,\;-1)}$. Термин лоренцева метрика или метрика Минковского может применяться и в случаях размерностей, отличных от 4. Тогда это обычно означает, что одна координата играет роль времени, а остальные — пространственных координат.
• Множество всех векторов с нулевым квадратом интервала образует коническую поверхность и называется (световым конусом).
• (Четырёхвектор), лежащий внутри светового конуса, называется времениподобным вектором, вне светового конуса — пространственноподобным, лежащий на световом конусе — нулевым.
• (Событие) в данный момент времени в данной точке называется мировой точкой.
• Множество мировых точек, описывающее движения частицы (материальной точки) во времени, называется мировой линией. В принципе этот термин может применяться и к описанию движения абстрактных («воображаемых») точек, но в основном употребляется всё же для описания движения реальных физических тел (в том числе распространения импульсов света).
• Инерциальный наблюдатель: наблюдатель, который покоится либо движется равномерно и прямолинейно (и поступательно, без вращения его координатной системы) относительно инерциальной системы отсчета. В лоренцевых (галилеевых) координатах мировая линия этого наблюдателя (и всех точек, неподвижных в его системе отсчета) выглядит особенно просто: это прямая ${\displaystyle x^{i}=x_{0}^{i}+u^{i}a\;,}$ где ${\displaystyle a\;}$ — параметр, а ${\displaystyle i}$ изменяется от 1 до 4 — тогда временной координатой является четвёртая, или от 0 до 3 — тогда временная координата нулевая.
• Интервал между двумя событиями, через которые проходит мировая линия инерциального наблюдателя, делённый на ${\displaystyle c}$, называется его собственным временем, так как эта величина совпадает со временем, измеренным движущимися вместе с наблюдателем часами. Для неинерциального наблюдателя собственное время между двумя событиями соответствует интегралу от интервала вдоль мировой линии.
• Если вектор, соединяющий мировые точки, времениподобен, то существует система отсчета, в которой события происходят в одной и той же точке трёхмерного пространства.
• Если вектор, соединяющий мировые точки двух событий, пространственноподобен, то существует система отсчета, в которой эти два события происходят одновременно; они не связаны причинно-следственной связью; модуль интервала определяет пространственное расстояние между этими точками (событиями) в этой системе отсчета.
• Кривая, касательный вектор к которой в каждой её точке времениподобен, называется времениподобной линией. Аналогично определяются пространственноподобные и изотропные («светоподобные») кривые.
• Множество всех мировых линий света, исходящих из данной мировой точки, как правило, рассматриваемые в совокупности со всеми входящими, образует двухполостную коническую гиперповерхность, инвариантную относительно преобразований Лоренца, называемую изотропным или световым конусом. Эта гиперповерхность разделяет причинное прошлое данной мировой точки, её причинное будущее и причинно независимую с данной мировой точкой (пространственноподобную) область пространства Минковского.
• Касательный вектор к мировой линии любого обычного физического тела является времениподобным вектором.
• Касательный вектор к мировой линии света (в вакууме) является изотропным вектором.
• Гиперповерхность, все касательные векторы которой пространственноподобны, называется пространственноподобной гиперповерхностью (на такой гиперповерхности задаются начальные условия), если же в каждой точке гиперповерхности найдется времениподобный касательный вектор, такая поверхность называется времениподобной (на такой гиперповерхности нередко могут задаваться граничные условия).
• Группой движений пространства Минковского, то есть группой преобразований, сохраняющих метрику, является (10-параметрическая) (группа Пуанкаре), состоящая из 4 трансляций — 3 пространственных и 1 временно́й, 3 чисто пространственных вращений и 3 пространственно-временных вращений, иначе называемых бустами. Последние 6, взятые вместе, образуют подгруппу группы Пуанкаре — (группу преобразований Лоренца). Таким образом, пространство Минковского является четырёхмерным метрическим пространством наивысшей возможной степени симметрии и имеет 10 (векторов Киллинга).
• Специфические физически значимые классы координат в пространстве Минковского — лоренцевы (или галилеевы) координаты, (координаты Риндлера) и (координаты Борна). Также бывают очень удобны (особенно в двумерном случае) или координаты светового конуса.
• В общей теории относительности пространство Минковского представляет собой тривиальное решение (уравнений Эйнштейна) для (вакуума) (пространства с нулевым тензором энергии-импульса и нулевым (лямбда-членом)).

История

Это пространство было открыто и рассмотрено (Анри Пуанкаре) в 1905 и (Германом Минковским) в 1908 году.

Анри Пуанкаре первым установил и детально изучил одно из самых важных свойств преобразований Лоренца — их групповую структуру, и показал, что «преобразования Лоренца представляют не что иное, как поворот в пространстве четырёх измерений, точки которого имеют координаты ${\displaystyle (x,y,z,ict)}$». Таким образом, Пуанкаре по крайней мере за три года до Минковского объединил пространство и время в единое четырёхмерное пространство-время.

См. также

• 4-вектор
• (Пространственно-временная диаграмма)
• Геометрия Лобачевского

Примечания

1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — М.: Наука, 1967. — С. 30.
2. Пуанкаре А. О динамике электрона // Принцип относительности: Сб. работ классиков релятивизма. — М.: (Атомиздат), 1973. — С. 90—93, 118—160.
3. Фущич В. И., Никитин А. Г. Симметрия уравнений Максвелла. — Киев: Наукова думка, 1983. — С. 6.