Ротор (математика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Ротор.

Ро́тор, рота́ция^[] или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.

Обозначается разными способами:

• ${\displaystyle \operatorname {rot} }$ (наиболее распространено в русскоязычной литературе),
• ${\displaystyle \operatorname {curl} }$ (в англоязычной литературе, предложено Максвеллом),
• ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times }$ — как дифференциальный (оператор набла), векторно умножаемый на векторное поле, то есть для векторного поля ${\displaystyle \mathbf {F} }$ результат действия оператора ротора, записанного в таком виде, будет векторным произведением оператора набла и этого поля: ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} }$.

Результат действия оператора ротора на конкретное векторное поле ${\displaystyle \mathbf {F} }$ называется ротором поля ${\displaystyle \mathbf {F} }$ или просто ротором ${\displaystyle \mathbf {F} }$ и представляет собой новое векторное поле:

${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {F} \equiv \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} }$

Поле ${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {F} }$ (длина и направление вектора ${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {F} }$ в каждой точке пространства) характеризует в некотором смысле (см. далее) вращательную составляющую поля ${\displaystyle \mathbf {F} }$ в соответствующих точках.

Определение

Ротор ${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {a} }$ векторного поля ${\displaystyle \mathbf {a} }$ — есть вектор, проекция которого ${\displaystyle \operatorname {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a} }$ на каждое направление ${\displaystyle \mathbf {n} }$ есть предел отношения (циркуляции векторного поля) по контуру ${\displaystyle L}$, являющемуся краем плоской площадки ${\displaystyle \Delta S}$, перпендикулярной этому направлению, к величине этой площадки (площади), когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:

${\displaystyle \operatorname {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\oint \limits _{L}\mathbf {a\cdot \,dr} }{S}}}$.

Направление обхода контура выбирается так, чтобы, если смотреть в направлении ${\displaystyle \mathbf {n} }$, контур ${\displaystyle L}$ обходился по часовой стрелке.

Операция, определённая таким образом, существует строго говоря только для векторных полей над трёхмерным пространством. Об обобщениях на другие размерности — см. ниже.

Альтернативным определением может быть непосредственное вычислительное определение дифференциального оператора, сводящееся к

${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {a} =\nabla \times \mathbf {a} }$,

что может быть записано в конкретных координатах как это показано ниже.

Иногда можно встретиться с таким альтернативным определением

${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {a} {\Big |}_{O}=\lim _{S\to O}{\frac {\oint \limits _{S}[d\mathbf {S} \times \mathbf {a} ]}{V}}}$,

где ${\displaystyle O}$ — точка, в которой определяется ротор поля ${\displaystyle \mathbf {a} }$,

${\displaystyle S}$ — какая-то замкнутая поверхность, содержащая точку ${\displaystyle O}$ внутри и в пределе стягивающаяся к ней,

${\displaystyle d\mathbf {S} }$ — вектор элемента этой поверхности, длина которого равна площади элемента поверхности, ортогональный поверхности в данной точке,

знаком ${\displaystyle \times }$ обозначено векторное произведение,

${\displaystyle V}$ — объём внутри поверхности ${\displaystyle S}$.

Это последнее определение таково, что даёт сразу вектор ротора, не нуждаясь в определении проекций на три оси отдельно.

Интуитивный образ

Если ${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)}$ — поле скорости движения газа (или течения жидкости), то ${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {v} }$ — вектор, пропорциональный вектору угловой скорости очень маленькой и лёгкой пылинки (или шарика), находящегося в потоке (и увлекаемого движением газа или жидкости; хотя центр шарика можно при желании закрепить, лишь бы он мог вокруг него свободно вращаться).

Конкретно ${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {v} =2{\boldsymbol {\omega }}}$, где ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ — эта угловая скорость.

• Простую иллюстрацию этого факта — см. ниже.

Эта аналогия может быть проведена вполне строго (см. ниже). Основное определение через (циркуляцию), данное выше, можно считать эквивалентным полученному таким образом.

Выражение в конкретных координатах

Формула ротора в декартовых координатах

В трёхмерной декартовой системе координат ротор (в соответствии с определением выше) вычисляется следующим образом (здесь ${\displaystyle \mathbf {F} }$ — обозначено векторное поле с декартовыми компонентами ${\displaystyle (F_{x},F_{y},F_{z})}$, а ${\displaystyle \mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}}$ — (орты) декартовых координат):

${\displaystyle \operatorname {rot} (F_{x}\mathbf {e} _{x}+F_{y}\,\mathbf {e} _{y}+F_{z}\mathbf {e} _{z})={}}$

${\displaystyle =\left(\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\right)\mathbf {e} _{x}+\left(\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\right)\mathbf {e} _{y}+\left(\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\right)\mathbf {e} _{z}\equiv }$

${\displaystyle \equiv \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{z}}$,

или

${\displaystyle (\operatorname {rot} \mathbf {F} )_{x}=\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\equiv {\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}}$

${\displaystyle (\operatorname {rot} \mathbf {F} )_{y}=\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\equiv {\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}}$

${\displaystyle (\operatorname {rot} \mathbf {F} )_{z}=\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\equiv {\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}}$

(что можно считать альтернативным определением, по сути совпадающим с определением в начале параграфа, по крайней мере при условии дифференцируемости компонент поля).

Для удобства можно формально представлять ротор как векторное произведение (оператора набла) (слева) и векторного поля:

${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {F} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}\partial _{x}\\\partial _{y}\\\partial _{z}\end{pmatrix}}\times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\\partial _{x}&\partial _{y}&\partial _{z}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}$

(последнее равенство формально представляет векторное произведение как определитель).

Формула ротора в криволинейных координатах

Основная статья: (Оператор набла в различных системах координат)

Удобным общим выражением ротора, пригодным для произвольных криволинейных координат в трёхмерном пространстве, является выражение с использованием (тензора Леви-Чивиты) (используя верхние и нижние индексы и (правило суммирования Эйнштейна)):

${\displaystyle (\operatorname {rot} \mathbf {v} )_{i}=\varepsilon _{ijk}g^{jm}\nabla _{m}v^{k}}$,

где ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ — координатная запись тензора Леви-Чивиты, включая множитель ${\displaystyle {\sqrt {g}}}$, ${\displaystyle g^{jm}}$ — метрический тензор в представлении с верхними индексами, ${\displaystyle g\equiv \det(g_{rs})}$, а ${\displaystyle \nabla _{m}v^{k}}$ — (ковариантные производные) от (контравариантных координат) вектора ${\displaystyle \mathbf {v} }$.

Это выражение может быть также переписано в виде:

${\displaystyle (\operatorname {rot} \mathbf {v} )^{n}=g^{ni}\varepsilon _{ijk}g^{jm}\nabla _{m}v^{k}}$.

Формула ротора в ортогональных криволинейных координатах

${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {A} =\operatorname {rot} (\mathbf {q_{1}} A_{1}+\mathbf {q_{2}} A_{2}+\mathbf {q_{3}} A_{3})=}$

${\displaystyle {}={\frac {1}{H_{2}H_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{3}H_{3})-{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{2}H_{2})\right]\mathbf {q_{1}} \ +}$

${\displaystyle {}+{\frac {1}{H_{3}H_{1}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{3}}}(A_{1}H_{1})-{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{3}H_{3})\right]\mathbf {q_{2}} \ +}$

${\displaystyle {}+{\frac {1}{H_{1}H_{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial q_{1}}}(A_{2}H_{2})-{\frac {\partial }{\partial q_{2}}}(A_{1}H_{1})\right]\mathbf {q_{3}} }$

${\displaystyle {}={\frac {1}{H_{1}H_{2}H_{3}}}{\begin{vmatrix}\mathbf {(} H_{1}{e}_{1})&\mathbf {(} H_{2}{e}_{2})&\mathbf {(} H_{3}{e}_{3})\\{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} _{1}}}&{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} _{2}}}&{\frac {\partial }{\partial \mathbf {q} _{3}}}\\(A_{1}H_{1})&(A_{2}H_{2})&(A_{3}H_{3})\end{vmatrix}}}$,

где ${\displaystyle H_{i}}$ — .

Обобщения

• Обобщением ротора применительно к векторным (и псевдовекторным) полям на пространствах произвольной размерности (при условии совпадения размерности пространства с размерностью вектора поля) является антисимметричное тензорное поле валентности два, компоненты которого равны:

${\displaystyle (\operatorname {rot} \mathbf {F} )_{ij}=\partial _{i}F_{j}-\partial _{j}F_{i}\equiv {\frac {\partial F_{j}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}}$

Эта же формула может быть записана через (внешнее произведение) с оператором набла:

${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {F} =\nabla \wedge \mathbf {F} }$

• Для двумерной плоскости может быть использована аналогичная формула с (псевдоскалярным произведением) (такой ротор будет псевдоскаляром, и его величина совпадает с проекцией традиционного векторного произведения на нормаль к данной плоскости, если она вложена в трёхмерное евклидово пространство).

• Если на двумерном вещественном пространстве (с координатами ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$) введена структура комплексного пространства (с координатой ${\displaystyle z=x+iy}$) и двумерные векторные поля записываются как комплекснозначные функции ${\displaystyle f(z)}$, тогда с использованием дифференцирования по комплексной переменной

${\displaystyle {\frac {\partial {}}{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {}}{\partial x}}-i{\frac {\partial {}}{\partial y}}\right)}$

ротор и дивергенцию (а они останутся действительными числами) можно записать так:

${\displaystyle \operatorname {rot} f=2\operatorname {Im} {\frac {\partial f}{\partial z}}}$,

${\displaystyle \operatorname {div} f=2\operatorname {Re} {\frac {\partial f}{\partial z}}}$.

Основные свойства

• Операция ротора линейна над полем констант: для любых векторных полей ${\displaystyle \mathbf {F} }$ и ${\displaystyle \mathbf {G} }$ и для любых чисел (констант) ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \operatorname {rot} (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\operatorname {rot} \mathbf {F} +b\operatorname {rot} \mathbf {G} }$.

• Если ${\displaystyle \varphi }$ — скалярное поле (функция), а ${\displaystyle \mathbf {F} }$ — векторное, тогда:

${\displaystyle \operatorname {rot} (\varphi \mathbf {F} )=\operatorname {grad} \varphi \times \mathbf {F} +\varphi \operatorname {rot} \mathbf {F} }$,

${\displaystyle \nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\times \mathbf {F} +\varphi (\nabla \times \mathbf {F} )}$.

• Если поле ${\displaystyle \mathbf {F} }$ (потенциально), его ротор равен нулю (поле ${\displaystyle \mathbf {F} }$ — безвихревое):

${\displaystyle \mathbf {F} =\operatorname {grad} \varphi \implies \operatorname {rot} \mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}}$.

• Обратное верно локально: если поле безвихревое, то локально (в достаточно малых областях) оно потенциально (то есть найдется такое скалярное поле ${\displaystyle \varphi }$, что ${\displaystyle \mathbf {F} }$ будет его градиентом):

${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}\implies \mathbf {F} =\operatorname {grad} \varphi }$

Таким образом, различные векторные поля могут иметь одинаковый ротор. При этом различаться они будут обязательно на безвихревое поле (то есть, локально — на градиент некоторого скалярного поля).

• (Дивергенция) ротора равна нулю (поле ротора бездивергентно):

${\displaystyle \operatorname {div} \operatorname {rot} \mathbf {F} =0}$,

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0}$.

• Обратное свойство также выполняется локально — если поле ${\displaystyle \mathbf {F} }$ бездивергентно, локально оно является ротором некоторого поля ${\displaystyle \mathbf {G} }$, называемого его (векторным потенциалом):

${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =0\implies \mathbf {F} =\operatorname {rot} \mathbf {G} }$.

• Дивергенция векторного произведения двух векторных полей выражается через их роторы по формуле:

${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\operatorname {rot} \mathbf {F} )\cdot \mathbf {G} -\mathbf {F} \cdot \operatorname {rot} \mathbf {G} }$

Таким образом, если ${\displaystyle F}$ и ${\displaystyle G}$ — безвихревые векторные поля, их векторное произведение будет бездивергентным и локально будет обладать векторным потенциалом. Например, если ${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla f}$, а ${\displaystyle \mathbf {G} =\nabla g}$, легко найти векторный потенциал для ${\displaystyle \mathbf {F} \times \mathbf {G} }$:

${\displaystyle \mathbf {F} \times \mathbf {G} =\operatorname {rot} (f\nabla g)}$.

Локально каждое бездивергентное векторное поле в трёхмерной области является векторным произведением двух градиентов.

• Ротор ротора равен градиенту дивергенции минус лапласиан:

${\displaystyle \operatorname {rot} \operatorname {rot} \mathbf {F} =\operatorname {grad} \operatorname {div} \mathbf {F} -\Delta \mathbf {F} }$.

• Ротор векторного произведения полей равен:

${\displaystyle \operatorname {rot} (\mathbf {F\times G} )=(\operatorname {div} \mathbf {G} )\mathbf {F} -(\operatorname {div} \mathbf {F} )\mathbf {G} +\nabla _{\mathbf {G} }\mathbf {F} -\nabla _{\mathbf {F} }\mathbf {G} }$.

Физическая интерпретация

При движении сплошной среды распределение её скоростей (то есть поле скорости течения жидкости) вблизи точки О задаётся формулой Коши — Гельмгольца:

${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {r} )=\mathbf {v} _{O}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} +\nabla \varphi +o(\mathbf {r} )}$,

где ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ — вектор углового вращения элемента среды в точке ${\displaystyle O}$, а ${\displaystyle \varphi }$ — квадратичная форма от координат — потенциал деформации элемента среды.

Таким образом, движение сплошной среды вблизи точки ${\displaystyle O}$ складывается из поступательного движения (вектор ${\displaystyle \mathbf {v} _{O}}$), вращательного движения (вектор ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$) и потенциального движения — деформации (вектор ${\displaystyle \nabla \varphi }$). Применяя к формуле Коши — Гельмгольца операцию ротора, получим, что в точке ${\displaystyle O}$ справедливо равенство ${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {v} =2{\boldsymbol {\omega }}}$, и, следовательно, можно заключить, что когда речь идет о векторном поле, являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.

В качестве интуитивного образа, как это описано выше, здесь можно использовать представление о вращении брошенной в поток маленькой пылинки (увлекаемой потоком с собой, без его заметного возмущения) или о вращении помещённого в поток с закреплённой осью маленького (без инерции, вращаемого потоком, заметно не искажая его) колеса с прямыми (не винтовыми) лопастями. Если то или другое при взгляде на него вращается против часовой стрелки, то это означает, что вектор ротора поля скорости потока в данной точке имеет положительную проекцию в направлении на нас.

(Формула Кельвина — Стокса)

(Циркуляция) вектора по замкнутому контуру, являющемуся границей некоторой поверхности, равна (потоку) ротора этого вектора через эту поверхность:

${\displaystyle \oint \limits _{\partial S}\mathbf {F} \cdot \,\mathbf {dl} =\int \limits _{S}(\operatorname {rot} ~\mathbf {F} )\cdot \mathbf {dS} }$

Частный случай формулы Кельвина — Стокса для плоской поверхности — содержание (теоремы Грина).

Примеры

• В этой главе будем для единичных векторов по осям (прямоугольных) декартовых координат использовать обозначение ${\displaystyle \mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}.}$

Простой пример

Рассмотрим векторное поле ${\displaystyle \mathbf {F} }$, зависящее от координат ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ так:

${\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=y\mathbf {e} _{x}-x\mathbf {e} _{y}}$.

• В отношении этого примера нетрудно заметить, что ${\displaystyle \mathbf {F} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$, где ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — радиус-вектор, а ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=-1\mathbf {e} _{z}}$, то есть поле ${\displaystyle \mathbf {F} }$ можно рассматривать как поле скоростей точек твёрдого тела, вращающегося с единичной по величине угловой скоростью, направленной в отрицательном направлении оси ${\displaystyle z}$ (то есть по часовой стрелке, если смотреть «сверху» — против оси ${\displaystyle z}$). Интуитивно более или менее очевидно, что поле закручено по часовой стрелке. Если мы поместим колесо с лопастями в жидкость, текущую с такими скоростями (то есть вращающуюся как целое по часовой стрелке), в любое место, мы увидим, что оно начнет вращаться по направлению часовой стрелки. (Для определения направлений используем, как обычно, (правило правой руки или правого винта)).
• ${\displaystyle z}$-компоненту поля ${\displaystyle \mathbf {F} }$ будем считать равной нулю. Однако если она ненулевая, но постоянная (или даже зависящая только от ${\displaystyle z}$) — результат для ротора, получаемый ниже, будет тем же.

Вычислим ротор:

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =0\mathbf {e} _{x}+0\mathbf {e} _{y}+\left[{\frac {\partial }{\partial x}}(-x)-{\frac {\partial }{\partial y}}y\right]\mathbf {e} _{z}=-2\mathbf {e} _{z}}$

Как и предположили, направление совпало с отрицательным направлением оси ${\displaystyle z}$. В данном случае ротор оказался константой, то есть поле ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} }$ оказалось однородным, не зависящим от координат (что естественно для вращения твёрдого тела). Что замечательно,

• угловая скорость вращения жидкости, вычисленная из ротора и оказавшаяся равной точно ${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {F} /2}$, точно совпала с тем, что указано в параграфе Физическая интерпретация, то есть этот пример является хорошей иллюстрацией приведённого там факта. (Конечно же, вычисления, полностью повторяющие приведённые выше, но только для неединичной угловой скорости, дают тот же результат ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =2{\boldsymbol {\omega }}}$).

Угловая скорость вращения в данном примере одна и та же в любой точке пространства (угол поворота пылинки, приклеенной к твердому телу не зависит от того места, где именно приклеить пылинку). График ротора ${\displaystyle \mathbf {F} }$ поэтому не слишком интересен:

Более сложный пример

Теперь рассмотрим несколько более сложное векторное поле:

${\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=-x^{2}\mathbf {e} _{y}}$.

Его график:

Мы можем не увидеть никакого вращения, но, посмотрев повнимательнее направо, мы видим большее поле в, например, точке ${\displaystyle x=4}$, чем в точке ${\displaystyle x=3}$. Если бы мы установили маленькое колесо с лопастями там, больший поток на правой стороне заставил бы колесо вращаться по часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении ${\displaystyle -z}$. Если бы мы расположили колесо в левой части поля, больший поток на его левой стороне заставил бы колесо вращаться против часовой стрелки, что соответствует ввинчиванию в направлении ${\displaystyle +z}$. Проверим нашу догадку с помощью вычисления:

${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =0\mathbf {e} _{x}+0\mathbf {e} _{y}+{\frac {\partial }{\partial x}}(-x^{2})\mathbf {e} _{z}=-2x\mathbf {e} _{z}}$

Действительно, ввинчивание происходит в направлении ${\displaystyle +z}$ для отрицательных ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle -z}$ для положительных ${\displaystyle x}$, как и ожидалось. Так как этот ротор не одинаков в каждой точке, его график выглядит немного интереснее:

Ротор ${\displaystyle \mathbf {F} }$ с плоскостью ${\displaystyle x=0}$, выделенной тёмно-синим цветом

Можно заметить, что график этого ротора не зависит от ${\displaystyle y}$ или ${\displaystyle z}$ (как и должно быть) и направлен по ${\displaystyle -z}$ для положительных ${\displaystyle x}$ и в направлении ${\displaystyle +z}$ для отрицательных ${\displaystyle x}$.

Поясняющие примеры

• В смерче ветры вращаются вокруг центра, и векторное поле скоростей ветра имеет ненулевой ротор (где-то) в центральной области. (см. (Вихревое движение)). (Правда, ближе к краю где-то ротор может принимать и нулевое значение см. ниже).
• Для векторного поля ${\displaystyle \mathbf {v} }$ скоростей движения точек вращающегося твёрдого (абсолютно твёрдого) тела, ${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {v} }$ одинаков всюду по объёму этого тела и равен (вектору) удвоенной угловой скорости вращения (подробнее — см. выше). В частном случае чисто поступательного движения или покоя, этот ротор может быть равен нулю, как и угловая скорость, тоже для всех точек тела.
• Если бы скорости автомобилей на трассе описывались векторным полем, и разные полосы имели разные ограничения по скорости движения, ротор на границе между полосами был бы ненулевым.
• (Закон электромагнитной индукции Фарадея), одно из (уравнений Максвелла), просто записывается (в дифференциальной форме) через ротор: ротор электрического поля равен скорости изменения магнитного поля (со временем), взятой с обратным знаком.
• Четвёртое уравнение Максвелла — (закон Ампера — Максвелла) — также записывается в дифференциальной форме с использованием ротора: ротор напряжённости магнитного поля равен сумме плотностей тока обычного и (тока смещения).

Важный контринтуитивный пример

Нужно иметь в виду, направление ротора может не соответствовать направлению вращения поля (пусть это поле скоростей жидкости), которое представляется очевидным, соответствующим направлению течения. Он может иметь противоположное течению направление, и, в частности, ротор может оказаться равным нулю, хотя линии тока загибаются или даже представляют собой точные окружности). Другими словами, направление искривления (векторных линий) векторного поля никак не связано с направлением вектора ротора этого поля.

Рассмотрим такой пример. Пусть поле скорости течения жидкости ${\displaystyle \mathbf {v} }$ определено формулой:

${\displaystyle \mathbf {v} =-f(y)\mathbf {e} _{x}}$,

${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {v} =f'(y)\mathbf {e} _{z}}$.

Если ${\displaystyle f'(y)>0}$, течение сносит частицу справа налево (то есть для наблюдателя сверху по оси ${\displaystyle z}$ — против часовой стрелки), однако если ${\displaystyle f'(y)<0}$ и ${\displaystyle f(y)}$ — убывающая функция, тогда ротор всюду направлен вниз, что означает, что каждая частица жидкости закручивается ПО часовой стрелке (при этом одновременно ещё и деформируясь).

Сказанное означает, что среда как целое может вращаться вокруг наблюдателя в одну сторону, а каждый её маленький объём — в противоположную сторону, или не вращаться вообще.

Примечания

1. Также в немецкой, откуда, по-видимому, это обозначение и попало в русскую, и почти везде в Европе, кроме Англии, где такое обозначение считается «альтернативным» (возможно, из-за неблагозвучности: англ. rot — гниль, гниение)^[].
2. (О. Хэвисайд). The relations between magnetic force and electric current от 22 июля 2016 на Wayback Machine. // The Electrician, 1882.
3. Точнее — если ${\displaystyle \mathbf {F} }$ — псевдовекторное поле, то ${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {F} }$ — обычное векторное поле (вектор ${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {F} }$ — полярный), и наоборот, если поле ${\displaystyle \mathbf {F} }$ — поле обычного (полярного) вектора, то ${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {F} }$ — псевдовекторное поле.
4. Стягивание в точку — обязательное условие, просто стремления ${\displaystyle \Delta S}$ к нулю недостаточно, ведь мы хотим получить характеристику поля в одной конкретной точке.
5. Обычное соглашение, согласованное с определением через векторное произведение с оператором набла.
6. Эквивалентность этих определений, если предел существует и не зависит от способа стягивания точке, видна, если выбрать поверхность ${\displaystyle S}$ второго определения в виде цилиндрической поверхности с основаниями, полученными параллельным переносом площадки первого определения ${\displaystyle \Delta S}$ на очень маленькое расстояние в двух противоположных направлениях ортогонально к ${\displaystyle \Delta S}$. В пределе же они должны приближаться к ${\displaystyle \Delta S}$ быстрее, чем уменьшается размер самой ${\displaystyle \Delta S}$. Тогда выражение второго определения разбивается на два слагаемых, одно, содержащее интеграл по боковой поверхности, совпадает с первым определением, а второе даёт ноль в проекции на нормаль к основаниям, поскольку ${\displaystyle d\mathbf {S} }$ на основаниях само ортогонально ему. Можно вместо этого рассмотреть просто маленький параллелепипед в качестве поверхности, тогда не столь легко сразу строго, но в целом понятно аналогичное.
7. Формально сходным с определением (дивергенции) через поток через поверхность:

   ${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {a} {\Big |}_{O}=\lim _{S\to O}{\frac {\oint \limits _{S}(\mathbf {a} \cdot d\mathbf {S} )}{V}}}$.

8. Оговорка о локальности важна для общего случая, когда рассматриваемые здесь поля ${\displaystyle \mathbf {F} }$ и ${\displaystyle \varphi }$ могут быть определены на пространстве (многообразии) или области нетривиальной топологии, и когда условия ${\displaystyle \operatorname {rot} \mathbf {F} ={\boldsymbol {0}}}$ также выполняется вообще говоря на пространстве или области нетривиальной топологии. Для случая евклидова пространства или его односвязной области оговорка о локальности не нужна, поле, ротор которого нуль на всем таком пространстве или односвязной области, будет потенциальным на всем этом пространстве или этой области. То есть тогда найдётся такое скалярное поле ${\displaystyle \varphi }$, что ${\displaystyle \mathbf {F} =\operatorname {grad} \varphi }$ будет верно везде на этом пространстве или этой области.
9. Простейшая физическая реализация такого поля (с точностью до аддитивной константы, которая не влияет на вычисление ротора, поскольку ${\displaystyle \operatorname {rot} \mathrm {const} ={\boldsymbol {0}}}$; кроме того, при желании эта константа может быть обнулена переходом в систему отсчета, связанной с максимально быстро текущей водой в центре струи) — ламинарное течение (вязкой) жидкости между двумя параллельными твердыми плоскостями, перпендикулярными оси ${\displaystyle x}$, под действием однородного силового поля (тяжести) или разности давлений. Течение жидкости в трубе круглого сечения даёт такую же зависимости ${\displaystyle v_{y}(x)}$, поэтому приведённое дальше вычисление ротора применимо и к этому случаю (проще всего взять ось ${\displaystyle y}$ совпадающей с осью трубы, и хотя зависимость ${\displaystyle \mathbf {v} (z)}$ не будет уже константой, однако ${\displaystyle \partial v_{y}/\partial z}$ будет нулем при ${\displaystyle z=0}$, как и в основном примере, то есть вычисление и ответ для любой плоскости, проходящей через ось трубы такой же, а это решает задачу).
10. Математический словарь высшей школы. В. Т. Воднев, А. Ф. Наумович, Н. Ф. Наумович

См. также

• Ротор векторного поля. Теорема Стокса. на YouTube
• Вычисление ротора векторного поля. на YouTube
• Векторный анализ
• (Теорема Грина)
• (Формулы векторного анализа)