Степень многочлена

Степенью многочлена одной комплексной переменной называется количество всех его корней с учётом их кратности. Из основной теоремы алгебры и из следствия теоремы Безу следует, что любой многочлен p(x) степени n возможно представить в виде a(x − x₁)…(x − x_n), где x₁, …, x_n — это все комплексные корни многочлена с учётом кратности, а константа a ≠ 0 — старший коэффициент многочлена. Раскрыв скобки в выражении a(x − x₁)…(x − x_n), можно получить эквивалентное определение: степень многочлена одной переменной — это максимальная из степеней всех его слагаемых-одночленов, тождественно не равных нулю.

Это определение имеет обобщение: полная степень многочлена с несколькими переменными — это максимальная из степеней всех его одночленов, тождественно не равных нулю, относительно всех переменных, участвующих в них, одновременно.

Многочленное уравнение d переменных, которое с помощью равносильных преобразований можно привести к виду p(x₁,…,x_d) = 0, где полином p(x₁, …, x_d) имеет степень n, называется (многочленным) уравнением степени n.

Степень полинома обозначается deg (англ. degree, фр. degré, от лат. gradus + de-).

Названия определённых степеней

• Степень многочлена, тождественно равного нулю, не определена, но в некоторых случаях её принимают равной −1 или −∞ (ниже).
• Степень константы, не равной нулю, — 0.
• Степень (линейного многочлена) — 1. Уравнение, в котором линейная функция приравнивается нулю, — уравнение 1-й степени.
• Степень (квадратного многочлена) — 2. Соответствующее уравнение — уравнение 2-й степени.
• Степень кубического многочлена — 3. Ему соответствует (уравнение 3-й степени).

В d-мерном евклидовом пространстве (d − 1)-мерная поверхность, являющаяся решением уравнения p(x₁,…,x_d) = 0 степени n с декартовыми координатами x₁, …, x_d, называется (d − 1)-мерной поверхностью n-го порядка. Термин порядок фактически означает степень уравнения. Отдельные названия гиперповерхностей:

• квадрика — гиперповерхность второго порядка. В одномерном случае квадрика представляет собой конику — плоскую кривую, один из эквивалентных способов получить которую — пересечь прямой круговой конус плоскостью;
• кубика — гиперповерхность третьего порядка. Примеры плоских кубик: (кубика Чирнгауза), (полукубическая парабола);
• квартика — гиперповерхность 4-го порядка: например, (квартика Люрота).

Примеры

1. Многочлен x(x − 2) имеет вторую степень, так как он состоит из двух линейных сомножителей.
2. У многочлена (2x − 1)(3x − 2) коэффициенты 2 и 3 можно вынести за скобки: 2 × 3(x − 1/2)(x − 2/3), — так что он имеет степень 2.
3. У многочлена 16x⁵ + (−20)x³ + 5x + (−1) одночлен с наибольшей степенью — это 16x⁵, а значит, степень многочлена равна 5.
4. Многочлены могут быть записаны в неканоническом виде: например, полином (x² + 1)² − (−x² + 1)² имеет степень 2, так как он представляет собой одночлен 4x².
5. 2(2x − y)xy является многочленом третьей степени.
6. Многочлен x² + y имеет вторую степень, поскольку одночлен с наибольшей степенью равен x², причём этот многочлен уже нельзя разложить на линейные множители от x и y.
7. Степень многочлена xy + y + x равна 2.

Степень многочлена при операциях над ними

Умножение

При умножении ненулевого многочлена p(x) на ненулевую константу c степень не изменяется:

${\displaystyle \deg {\big (}cp(x){\big )}=\deg p(x).}$

Например, степень полинома 6(x − 1/2)(x − 2/3) = 6x² − 5x + 2, как и (x − 1/2)(x − 2/3) = x² + −5/6x + 1/3, равна 2. В более общем случае степень произведения полиномов p(x) и q(x) равна сумме степеней этих полиномов:

${\displaystyle \deg {\big (}p(x)q(x){\big )}=\deg p(x)+\deg q(x).}$

К примеру, степень многочлена (x² + 1)(x³ − x − 1) = x⁵ − x² − x − 1 равна 2 + 3 = 5.

Сложение, вычитание

Степень суммы ненулевых многочленов не может быть больше максимальной из их степеней:

${\displaystyle \deg {\big (}p(x)+q(x){\big )}\leqslant \max {\big (}{\deg }~p(x),\deg q(x){\big )}.}$

То же самое неравенство верно и для разности:

${\displaystyle \deg {\big (}p(x)-q(x){\big )}\leqslant \max {\big (}{\deg }~p(x),\deg(-1\cdot q(x)){\big )}=\max {\big (}{\deg }~p(x),\deg q(x){\big )}.}$

При этом если степени многочленов-слагаемых различаются, то вышенаписанные соотношения обращаются в равенства. Например, многочлен (x² + 1)² имеет четвёртую степень, (x + 1)² — вторую, а многочлены (x² + 1)² ± (x + 1)² — 4-ю.

Композиция

Пусть p(x) и q(x) — ненулевые многочлены. Тогда:

${\displaystyle \deg[q\circ p(x)]=\deg[p\circ q(x)]=\deg p(x)\deg q(x).}$

Например, если p(x) = x² + 1, q(x) = x³ + 1, то степени многочленов p ∘ q(x) = x⁶ + 2x³ + 2 и q ∘ p(x) = x⁶ + 3x⁴ + 3x² + 2 равны 2 × 3 = 6.

Степень многочлена нескольких переменных

Как и в случае с одной переменной, (полная) степень одночлена нескольких переменных — сумма всех показателей степеней всех переменных в одночлене. К примеру, полная степень одночлена x¹y²x³ относительно x и y равна 1 + 2 + 3 = 6.

В свою очередь, (полная) степень многочлена нескольких переменных — это максимальная из степеней всех его одночленов. Пример: многочлен xy + y + x имеет степень 2, так как одночлен с наибольшей степенью — xy.

Помимо этого, степень многочлена нескольких переменных может также рассматриваться относительно одной из переменных. Например, полином x² + y² + xy + x + y имеет 2-ю степень относительно x и ту же степень относительно y. Причём относительно x этот полином раскладывается на комплексные линейные множители так:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+xy+x+y=\left(x-{\tfrac {-y-1-{\sqrt {(y+1)(-3y+1)}}}{2}}\right)\left(x-{\tfrac {-y-1+{\sqrt {(y+1)(-3y+1)}}}{2}}\right),}$

а относительно y:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+xy+x+y=\left(y-{\tfrac {-x-1-{\sqrt {(x+1)(-3x+1)}}}{2}}\right)\left(y-{\tfrac {-x-1+{\sqrt {(x+1)(-3x+1)}}}{2}}\right).}$

Иногда на степень полинома относительно конкретной переменной могут влиять другие переменные: например, полином (x² + 1)y² + (x + 1)y + 1 четвёртой степени является квадратным относительно y, только если x не равняется ±i, — в противном случае одночлен (x² + 1)y² обратится в нуль и многочлен станет линейным: его нельзя будет разложить на два линейных множителя (относительно y).

Степень нулевого многочлена

Степень многочлена, равного 0 при любом значении переменной(-ых), считается либо неопределённой, либо отрицательной — как правило, −1 или −∞.

В случае, когда степень такого многочлена не определена, полагают, что нулевой многочлен, строго говоря, вообще не имеет никаких одночленов-слагаемых, которые тождественно не равнялись бы нулю. Соответственно, для нулевого многочлена совсем не вводятся никакие вышенаписанные свойства степеней при преобразовании многочленов.

При этом в случае, когда степень нулевого полинома принимают равной −∞, сохраняются все свойства, приведённые выше, исключая, быть может, композицию. Для любого вещественного числа n по определению выполняются следующие свойства (свойства аффинно расширенной числовой прямой):

• ${\displaystyle \max(-\infty ,n)=n;}$
• ${\displaystyle -\infty +n=-\infty .}$

Соответственно, сами степени многочленов «ведут себя» следующим образом: если p(x) — ненулевой многочлен степени n, то

• ${\displaystyle \deg(p(x)+0)=\deg p(x)=n\leqslant \max(\deg p(x),\deg 0)=\max(n,-\infty )=n;}$
• ${\displaystyle \deg(p(x)\cdot 0)=\deg 0=-\infty ,}$ а с другой стороны, ${\displaystyle \deg p(x)+\deg 0=n-\infty =-\infty .}$

Примечания

1. Eric W. Weisstein. Polynomial Degree (англ.). mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 28 мая 2021. 3 июня 2021 года.
2. Eric W. Weisstein. Zero Polynomial (англ.). mathworld.wolfram.com. Дата обращения: 28 мая 2021. 1 мая 2021 года.
3. Serge Lang. Algebra. — 3. — New York: Springer-Verlag, 2002. — (Graduate Texts in Mathematics). — .
4. (Серж Ленг). Алгебра. — Springer, 2005. — С. 100. — .
5. abstract algebra - The degree of a sum of two polynomials (proof question)  (неопр.). Mathematics Stack Exchange. Дата обращения: 28 мая 2021.
6. Degree of sum of polynomials - TheoremDep  (неопр.). sharmaeklavya2.github.io. Дата обращения: 28 мая 2021. 20 января 2021 года.
7. algebra precalculus - What's polynomial composition useful for?  (неопр.) Mathematics Stack Exchange. Дата обращения: 28 мая 2021.
8. (Шафаревич, Игорь Ростиславович). Лекции по алгебре. — С. 25. 2 июня 2021 года.
9. Чайлдс, Линдсей. Конкретное введение в высшую алгебру. — 1995. — С. 233. 2 июня 2021 года.
10. Чайлдс, Линдсей. Конкретное введение в высшую алгебру.. — 2009. 2 июня 2021 года.

Ссылки

• https://mathworld.wolfram.com/PolynomialDegree.html
• https://www.mathsisfun.com/algebra/degree-expression.html