Стоячая волна

Стоя́чая волна́ — явление интерференции волн, распространяющихся в противоположных направлениях, при котором перенос энергии ослаблен или отсутствует.

Пример стоячей волны (чёрная линия), возникшей в результате интерференции двух гармонических волн (красная и синяя линии) одинаковой частоты и амплитуды, распространяющихся во встречных направлениях. Красные точки обозначают узлы — точки или области в пространстве, в которых амплитуда колебательного процесса минимальна и равна разности амплитуд интерферирующих волн (амплитуда стоячей волны в узлах равна нулю). Посередине между каждой парой соседних узлов располагается пучность — точка или область в пространстве, в которой амплитуда максимальна и равна сумме амплитуд интерферирующих волн (амплитуда стоячей волны в пучностях вдвое больше амплитуды каждой из интерферирующих волн). Фаза колебательного процесса стоячей волны при переходе через узел меняется на 180° (говорят, что колебания синфазны в пространстве с точностью до 180°). В данном примере расстояние между соседними узлами составляет половину длины волны интерферирующих волн, значение (коэффициента стоячей волны) (отноношение амплитуд колебаний в пучности и узле) стремится к бесконечности

Стоя́чая волна́ (электромагнитная) — периодическое изменение амплитуды напряженности электрического и магнитного полей вдоль направления распространения, вызванное интерференцией падающей и отражённой волн.

Стоячая волна — колебательный (волновой) процесс в распределённых колебательных системах с характерным устойчивым в пространстве расположением чередующихся максимумов ((пучностей)) и минимумов (узлов) амплитуды. Такой колебательный процесс возникает при интерференции нескольких когерентных волн.

Например, стоячая волна возникает при отражении волны от преград и неоднородностей в результате взаимодействия (интерференции) падающей и отражённой волн. На результат интерференции влияют частота колебаний, модуль и фаза коэффициента отражения, направления распространения падающей и отражённой волн друг относительно друга, изменение или сохранение поляризации волн при отражении, коэффициент затухания волн в среде распространения. Строго говоря, стоячая волна может существовать только при отсутствии потерь в среде распространения (или в активной среде) и полном отражении падающей волны. В реальной же среде наблюдается режим смешанных волн, поскольку всегда присутствует перенос энергии к местам поглощения и излучения. Если при падении волны происходит её полное поглощение, то отражённая волна отсутствует, интерференции волн нет, амплитуда волнового процесса в пространстве постоянна. Такой волновой процесс называют (бегущей волной).

Примерами стоячей волны могут служить колебания струны, колебания воздуха в органной трубе; в природе — (волны Шумана). Для демонстрации стоячих волн в газе используют (трубу Рубенса).

• Двумерная стоячая волна на упругом диске. Основная мода
• Более высокая мода стоячей волны на упругом диске

В случае гармонических колебаний в одномерной среде стоячая волна описывается формулой:

${\displaystyle u=u_{0}\cos kx\cos(\omega t-\varphi ),}$

где ${\displaystyle u}$ — возмущения в точке ${\displaystyle x}$ в момент времени ${\displaystyle t,}$

${\displaystyle u_{0}}$ — амплитуда стоячей волны,

${\displaystyle \omega }$ — частота,

${\displaystyle k}$ — волновой вектор,

${\displaystyle \varphi }$ — фаза.

Стоячие волны являются решениями (волновых уравнений). Их можно представить себе как суперпозицию волн, распространяющихся в противоположных направлениях.

При существовании в среде стоячей волны, существуют точки, амплитуда колебаний в которых равна нулю. Эти точки называются узлами стоячей волны. Точки, в которых колебания имеют максимальную амплитуду, называются (пучностями).

Моды

Стоячие волны возникают в резонаторах. Конечные размеры резонатора накладывают дополнительные условия на существование таких волн. В частности, для систем конечных размеров волновой вектор (а, следовательно, длина волны) может принимать лишь определённые дискретные значения. Колебания с определёнными значениями волнового вектора называются модами.

Например, различные моды колебаний зажатой на концах струны определяют её основной тон и обертоны.

Математическое описание стоячих волн

В одномерном случае две волны одинаковой частоты, длины волны и амплитуды, распространяющиеся в противоположных направлениях (например, навстречу друг другу), будут взаимодействовать, в результате чего может возникнуть стоячая волна. Например, гармоничная волна, распространяясь вправо, достигая конца струны, производит стоячую волну. Волна, что отражается от конца, должна иметь такую же амплитуду и частоту, как и падающая волна.

Рассмотрим падающую и отражённую волны в виде:

${\displaystyle y_{1}\;=\;y_{0}\,\sin(kx-\omega t),}$

${\displaystyle y_{2}\;=\;y_{0}\,\sin(kx+\omega t),}$

где ${\displaystyle y_{0}}$ — амплитуда волны,

${\displaystyle \omega }$ — циклическая (угловая) частота, измеряемая в радианах в секунду,

${\displaystyle k}$ — волновой вектор, измеряется в радианах на метр, и рассчитывается как ${\displaystyle 2\pi /\lambda ,}$

${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle t}$ — переменные для обозначения длины и времени.

Поэтому результирующее уравнение для стоячей волны ${\displaystyle y}$ будет в виде суммы ${\displaystyle y_{1}}$ и ${\displaystyle y_{2}:}$

${\displaystyle y\;=\;y_{0}\,\sin(kx-\omega t)\;+\;y_{0}\,\sin(kx+\omega t).}$

Используя тригонометрические соотношения, это уравнение можно переписать в виде:

${\displaystyle y\;=\;2\,y_{0}\,\cos(\omega t)\;\sin(kx).}$

Если рассматривать моды ${\displaystyle x=0,\lambda /2,\lambda ,3\lambda /2,...}$ и антимоды ${\displaystyle x=\lambda /4,3\lambda /4,5\lambda /4,...}$, то расстояние между соседними модами / антимодами будет равно половине длины волны ${\displaystyle \lambda /2}$.

Волновое уравнение

Для того, чтобы получить стоячие волны как результат решения однородного дифференциального волнового уравнения (Даламбера):

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u=0,}$

необходимо соответствующим образом задать его граничные условия (например, закрепить концы струны).

В общем случае неоднородного дифференциального уравнения

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)u=f_{0}u,}$

где ${\displaystyle f_{0}}$ — выполняет роль «силы», с помощью которой осуществляется смещение в определённой точке струны, стоячая волна возникает автоматически.

См. также

• (Фигуры Хладни)
• Интерференция
• Голография
• (Длинная линия)
• (Телеграфные уравнения)

Примечания

1. IEEE Electrical Engineering Dictionary / P.A.Laplante, ed. CRC Press LLC, 2000.
2. ГОСТ 18238-72. Линии передачи сверхвысоких частот. Термины и определения.
3. Джо Вулфи «Струны, стоячие волны и гармоники»  (неопр.). Дата обращения: 12 августа 2009. 10 февраля 2009 года.

Ссылки

• Джо Вулфи «Струны, стоячие волны и гармоники»