Уравнение Клейна — Гордона (иногда Клейна — Гордона — Фока, Клейна — Фока, Шрёдингера — Гордона) — релятивистская версия уравнения Шрёдингера:
- ,
или (с использованием единиц, где , — оператор Д’Аламбера):
- .
Используется для описания быстро движущихся частиц, имеющих массу (массу покоя). Строго применимо к описанию скалярных массивных полей (таких как поле Хиггса). Может быть обобщено для частиц с целым и полуцелым спинами. Кроме прочего, ясно, что уравнение является обобщением волнового уравнения, подходящего для описания безмассовых скалярных и векторных полей.
Механические системы (реальные или воображаемые), описывающиеся уравнением Клейна — Гордона — Фока, могут быть простыми модификациями систем, описывающихся волновым уравнением, например:
- в одномерном случае — натянутая тяжёлая нить, лежащая (приклеенная) на упругой (гуковской) подкладке.
- макроскопически изотропный кристалл, каждый атом которого находится, кроме связи с соседними атомами, ещё и в фиксированной в пространстве квадратичной потенциальной яме.
- более реалистично, если говорить о реальных кристаллах, рассмотреть моды поперечных колебаний, при которых, например, соседние слои атомов колеблются в противофазе: такие моды (в линейном приближении) будут подчиняться двумерному уравнению Клейна — Гордона — Фока в координатах, лежащих в плоскости слоёв.
Уравнение, в котором последний («массовый») член имеет знак, противоположный обычному, описывает в теоретической физике тахион. Такой вариант уравнения также допускает простую механическую реализацию.
Уравнение Клейна — Гордона — Фока для свободной частицы (которое и приведено выше) имеет простое решение в виде синусоидальных плоских волн.
Положив пространственные производные нулю (что в квантовой механике соответствует нулевому импульсу частицы), мы имеем для обычного уравнения Клейна — Гордона — Фока гармонический осциллятор с частотой , что соответствует ненулевой энергии покоя, определяемой массой частицы. Тахионный же вариант уравнения в этом случае неустойчив, а решение его включает в общем случае неограниченно возрастающую экспоненту.
История
Уравнение, названное именами Оскара Клейна и Вальтера Гордона, первоначально записал Эрвин Шрёдингер до записи нерелятивистского уравнения, которое носит сейчас его имя. Он отказался от него (не опубликовав), потому что не смог включить в это уравнение спин электрона. Шрёдингер сделал упрощение уравнения и нашёл «своё» уравнение.
В 1926 году, вскоре после публикации уравнения Шрёдингера, Фок написал статью о его обобщении на случай магнитных полей, где силы зависели от скорости, и независимо вывел это уравнение. И Клейн (его работа появилась несколько раньше, но вышла из печати уже после того, как статья Фока была принята в журнал), и Фок использовали метод Калуцы — Клейна. Фок также ввёл калибровочную теорию для волнового уравнения.
Статья Гордона (начало 1926) была посвящена эффекту Комптона.
Вывод
(Здесь использованы единицы, где ).
Уравнение Шрёдингера для свободной частицы записывается так:
- ,
где — оператор импульса; оператор же будем называть, в отличие от гамильтониана, просто оператором энергии.
Уравнение Шрёдингера не является релятивистски ковариантным, то есть не согласуется со специальной теорией относительности (СТО).
Используем релятивистское дисперсионное (связывающее энергию и импульс) соотношение (из СТО):
- .
Тогда просто подставляя квантовомеханические оператор импульса и оператор энергии, получаем:
- ,
что в ковариантной форме запишется так:
- ,
где — оператор Д’Аламбера.
Решение уравнения Клейна — Гордона — Фока для свободной частицы
Искать решение уравнения Клейна — Гордона — Фока для свободной частицы
можно, как и для любого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, в виде суперпозиции (то есть любой, конечной или бесконечной линейной комбинации) плоских волн:
- ,
подставляя же каждую такую волну в уравнение, получаем условие на и :
- .
Плоская волна, как легко заметить, описывает чистое состояние с определённой энергией и импульсом (то есть является собственной функцией соответствующих операторов). Энергия и импульс (то есть собственные значения этих операторов), исходя из этого, могут быть для неё просто посчитаны, как и в случае нерелятивистской частицы:
- ,
- .
Найденное соотношение и тогда (снова) даёт уравнение связи между энергией и импульсом релятивистской частицы с ненулевой массой, известное из классики:
- .
Причём ясно, что соотношение для средних величин будет выполняться не только для состояний с определённой энергией и импульсом, но и для любой их суперпозиции, то есть для любого решения уравнения Клейна — Гордона — Фока (что, в частности, обеспечивает выполнение этого соотношения и в классическом пределе).
Для безмассовых частиц мы можем положить в последнем уравнении. Тогда получим для безмассовых частиц закон дисперсии (он же соотношение энергии и импульса) в виде:
- .
Использовав формулу групповой скорости , нетрудно получить обычные релятивистские формулы связи импульса и энергии со скоростью; в принципе того же результата можно добиться, просто посчитав коммутатор гамильтониана с координатой; но в случае уравнения Клейна — Гордона — Фока мы сталкиваемся с трудностью выписать гамильтониан в явном виде (очевиден только квадрат гамильтониана).
Примечания
- Демков Ю. Н. Развитие теории электронно-атомных столкновений в Ленинградском университете от 17 мая 2014 на Wayback Machine.
- Фаддеев Л. Д. Новая жизнь полной интегрируемости // УФН. — 2013. — Том 183. — № 5. — C. 490.
- Г. Вентцель Введение в квантовую теорию волновых полей. — М., Л.: ОГИЗ, 1947. — С. 32
- см. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — § 4, 6.
- Vladimir Fock от 2 января 2015 на Wayback Machine // Zeitschrift für Physik 38 (1926) 242.
- Vladimir Fock // Zeitschrift für Physik 39 (1926) 226.
- Klein O. Quantentheorie und fünfdimensionale Relativitätstheorie от 14 октября 2017 на Wayback Machine // Zeitschrift für Physik 37:895-906. — 1926.
- Gordon W. Der Comptoneffekt nach der Schrödingerschen Theorie от 10 июня 2017 на Wayback Machine (Эффект Комптона в теории Шредингера) // Zeitschrift für Physik. — v. 40. — iss. 1. — pp. 117—133 (1926). — DOI 10.1007/BF01390840.
- Можно было бы просто извлечь корень из оператора в скобках в левой части уравнения
- ,
- см. примечание 2.
См. также
Ссылки
- Линейное уравнение Клейна — Гордона на EqWorld: The World of Mathematical Equations.
- Нелинейное уравнение Клейна — Гордона на EqWorld: The World of Mathematical Equations.
Википедия, чтение, книга, библиотека, поиск, нажмите, истории, книги, статьи, wikipedia, учить, информация, история, скачать, скачать бесплатно, mp3, видео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, картинка, музыка, песня, фильм, игра, игры, мобильный, телефон, Android, iOS, apple, мобильный телефон, Samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Сеть, компьютер
Uravnenie Klejna Gordona inogda Klejna Gordona Foka Klejna Foka Shryodingera Gordona relyativistskaya versiya uravneniya Shryodingera x 2 ps y 2 ps z 2 ps 1 c 2 t 2 ps m 2 c 2 ℏ 2 ps 0 displaystyle partial x 2 psi partial y 2 psi partial z 2 psi 1 over c 2 partial t 2 psi m 2 c 2 over hbar 2 psi 0 ili s ispolzovaniem edinic gde ℏ c 1 displaystyle hbar c 1 displaystyle square operator D Alambera m 2 ps 0 displaystyle square m 2 psi 0 Ispolzuetsya dlya opisaniya bystro dvizhushihsya chastic imeyushih massu massu pokoya Strogo primenimo k opisaniyu skalyarnyh massivnyh polej takih kak pole Higgsa Mozhet byt obobsheno dlya chastic s celym i polucelym spinami Krome prochego yasno chto uravnenie yavlyaetsya obobsheniem volnovogo uravneniya podhodyashego dlya opisaniya bezmassovyh skalyarnyh i vektornyh polej Mehanicheskie sistemy realnye ili voobrazhaemye opisyvayushiesya uravneniem Klejna Gordona Foka mogut byt prostymi modifikaciyami sistem opisyvayushihsya volnovym uravneniem naprimer v odnomernom sluchae natyanutaya tyazhyolaya nit lezhashaya prikleennaya na uprugoj gukovskoj podkladke makroskopicheski izotropnyj kristall kazhdyj atom kotorogo nahoditsya krome svyazi s sosednimi atomami eshyo i v fiksirovannoj v prostranstve kvadratichnoj potencialnoj yame bolee realistichno esli govorit o realnyh kristallah rassmotret mody poperechnyh kolebanij pri kotoryh naprimer sosednie sloi atomov koleblyutsya v protivofaze takie mody v linejnom priblizhenii budut podchinyatsya dvumernomu uravneniyu Klejna Gordona Foka v koordinatah lezhashih v ploskosti sloyov Uravnenie v kotorom poslednij massovyj chlen imeet znak protivopolozhnyj obychnomu opisyvaet v teoreticheskoj fizike tahion Takoj variant uravneniya takzhe dopuskaet prostuyu mehanicheskuyu realizaciyu Uravnenie Klejna Gordona Foka dlya svobodnoj chasticy kotoroe i privedeno vyshe imeet prostoe reshenie v vide sinusoidalnyh ploskih voln Polozhiv prostranstvennye proizvodnye nulyu chto v kvantovoj mehanike sootvetstvuet nulevomu impulsu chasticy my imeem dlya obychnogo uravneniya Klejna Gordona Foka garmonicheskij oscillyator s chastotoj m c 2 ℏ displaystyle pm mc 2 hbar chto sootvetstvuet nenulevoj energii pokoya opredelyaemoj massoj m displaystyle m chasticy Tahionnyj zhe variant uravneniya v etom sluchae neustojchiv a reshenie ego vklyuchaet v obshem sluchae neogranichenno vozrastayushuyu eksponentu IstoriyaUravnenie nazvannoe imenami Oskara Klejna i Valtera Gordona pervonachalno zapisal Ervin Shryodinger do zapisi nerelyativistskogo uravneniya kotoroe nosit sejchas ego imya On otkazalsya ot nego ne opublikovav potomu chto ne smog vklyuchit v eto uravnenie spin elektrona Shryodinger sdelal uproshenie uravneniya i nashyol svoyo uravnenie V 1926 godu vskore posle publikacii uravneniya Shryodingera Fok napisal statyu o ego obobshenii na sluchaj magnitnyh polej gde sily zaviseli ot skorosti i nezavisimo vyvel eto uravnenie I Klejn ego rabota poyavilas neskolko ranshe no vyshla iz pechati uzhe posle togo kak statya Foka byla prinyata v zhurnal i Fok ispolzovali metod Kalucy Klejna Fok takzhe vvyol kalibrovochnuyu teoriyu dlya volnovogo uravneniya Statya Gordona nachalo 1926 byla posvyashena effektu Komptona Vyvod Zdes ispolzovany edinicy gde ℏ c 1 displaystyle hbar c 1 Uravnenie Shryodingera dlya svobodnoj chasticy zapisyvaetsya tak p 2 2 m ps i t ps displaystyle frac hat mathbf p 2 2m psi i partial t psi gde p i displaystyle hat mathbf p i mathbf nabla operator impulsa operator zhe E i t displaystyle hat E i partial t budem nazyvat v otlichie ot gamiltoniana prosto operatorom energii Uravnenie Shryodingera ne yavlyaetsya relyativistski kovariantnym to est ne soglasuetsya so specialnoj teoriej otnositelnosti STO Ispolzuem relyativistskoe dispersionnoe svyazyvayushee energiyu i impuls sootnoshenie iz STO p 2 m 2 E 2 displaystyle p 2 m 2 E 2 Togda prosto podstavlyaya kvantovomehanicheskie operator impulsa i operator energii poluchaem i 2 m 2 ps i 2 t 2 ps displaystyle i mathbf nabla 2 m 2 psi i 2 partial t 2 psi chto v kovariantnoj forme zapishetsya tak m 2 ps 0 displaystyle square m 2 psi 0 gde 2 t 2 displaystyle square nabla 2 partial t 2 operator D Alambera Reshenie uravneniya Klejna Gordona Foka dlya svobodnoj chasticyIskat reshenie uravneniya Klejna Gordona Foka dlya svobodnoj chasticy 2 ps 1 c 2 2 t 2 ps m 2 c 2 ℏ 2 ps displaystyle mathbf nabla 2 psi frac 1 c 2 frac partial 2 partial t 2 psi frac m 2 c 2 hbar 2 psi mozhno kak i dlya lyubogo linejnogo differencialnogo uravneniya s postoyannymi koefficientami v vide superpozicii to est lyuboj konechnoj ili beskonechnoj linejnoj kombinacii ploskih voln ps r t e i k r w t displaystyle psi mathbf r t e i mathbf k cdot mathbf r omega t podstavlyaya zhe kazhduyu takuyu volnu v uravnenie poluchaem uslovie na k displaystyle mathbf k i w displaystyle omega k 2 w 2 c 2 m 2 c 2 ℏ 2 displaystyle k 2 frac omega 2 c 2 frac m 2 c 2 hbar 2 Ploskaya volna kak legko zametit opisyvaet chistoe sostoyanie s opredelyonnoj energiej i impulsom to est yavlyaetsya sobstvennoj funkciej sootvetstvuyushih operatorov Energiya i impuls to est sobstvennye znacheniya etih operatorov ishodya iz etogo mogut byt dlya neyo prosto poschitany kak i v sluchae nerelyativistskoj chasticy p ps p ps ps i ℏ ps ℏ k displaystyle langle mathbf p rangle langle psi hat mathbf p psi rangle langle psi i hbar mathbf nabla psi rangle hbar mathbf k E ps E ps ps i ℏ t ps ℏ w displaystyle langle E rangle langle psi hat E psi rangle langle psi i hbar frac partial partial t psi rangle hbar omega Najdennoe sootnoshenie k displaystyle k i w displaystyle omega togda snova dayot uravnenie svyazi mezhdu energiej i impulsom relyativistskoj chasticy s nenulevoj massoj izvestnoe iz klassiki E 2 m 2 c 4 p 2 c 2 displaystyle langle E 2 rangle m 2 c 4 langle mathbf p 2 rangle c 2 Prichyom yasno chto sootnoshenie dlya srednih velichin budet vypolnyatsya ne tolko dlya sostoyanij s opredelyonnoj energiej i impulsom no i dlya lyuboj ih superpozicii to est dlya lyubogo resheniya uravneniya Klejna Gordona Foka chto v chastnosti obespechivaet vypolnenie etogo sootnosheniya i v klassicheskom predele Dlya bezmassovyh chastic my mozhem polozhit m 0 displaystyle m 0 v poslednem uravnenii Togda poluchim dlya bezmassovyh chastic zakon dispersii on zhe sootnoshenie energii i impulsa v vide E 2 p 2 c 2 displaystyle langle E 2 rangle langle mathbf p 2 rangle c 2 Ispolzovav formulu gruppovoj skorosti v g r w k displaystyle mathbf v gr partial omega partial mathbf k netrudno poluchit obychnye relyativistskie formuly svyazi impulsa i energii so skorostyu v principe togo zhe rezultata mozhno dobitsya prosto poschitav kommutator gamiltoniana s koordinatoj no v sluchae uravneniya Klejna Gordona Foka my stalkivaemsya s trudnostyu vypisat gamiltonian v yavnom vide ocheviden tolko kvadrat gamiltoniana PrimechaniyaDemkov Yu N Razvitie teorii elektronno atomnyh stolknovenij v Leningradskom universitete ot 17 maya 2014 na Wayback Machine Faddeev L D Novaya zhizn polnoj integriruemosti UFN 2013 Tom 183 5 C 490 G Ventcel Vvedenie v kvantovuyu teoriyu volnovyh polej M L OGIZ 1947 S 32 sm Bogolyubov N N Shirkov D V Vvedenie v teoriyu kvantovannyh polej 4 6 Vladimir Fock ot 2 yanvarya 2015 na Wayback Machine Zeitschrift fur Physik 38 1926 242 Vladimir Fock Zeitschrift fur Physik 39 1926 226 Klein O Quantentheorie und funfdimensionale Relativitatstheorie ot 14 oktyabrya 2017 na Wayback Machine Zeitschrift fur Physik 37 895 906 1926 Gordon W Der Comptoneffekt nach der Schrodingerschen Theorie ot 10 iyunya 2017 na Wayback Machine Effekt Komptona v teorii Shredingera Zeitschrift fur Physik v 40 iss 1 pp 117 133 1926 DOI 10 1007 BF01390840 Mozhno bylo by prosto izvlech koren iz operatora v skobkah v levoj chasti uravneniya i 2 m 2 ps i 2 t 2 ps displaystyle i mathbf nabla 2 m 2 psi i 2 partial t 2 psi to est najti takim obrazom gamiltonian togda v pravoj chasti ostalas by pervaya proizvodnaya po vremeni i analogiya s uravneniem Shryodingera byla by eshyo bolee neposredstvennoj i pryamoj Odnako utverzhdaetsya chto dlya sluchaya skalyarnogo ili vektornogo polya ps displaystyle psi nevozmozhno prodelat eto tak chtoby poluchivshijsya gamiltonian byl lokalnym Dlya sluchaya zhe bispinornogo ps displaystyle psi Diraku udalos poluchit takim obrazom lokalnyj i dazhe s proizvodnymi lish pervogo poryadka gamiltonian poluchiv etim samym tak nazyvaemoe uravnenie Diraka vse resheniya kotorogo v prostranstve Minkovskogo kstati yavlyayutsya i resheniyami uravneniya Klejna Gordona no ne obratno a v iskrivlyonnom prostranstve razlichie uravnenij stanovitsya yavnym sm primechanie 2 Sm takzheUravnenie sinus Gordona Uravnenie Diraka Uravneniya Proka Uravneniya MaksvellaSsylkiLinejnoe uravnenie Klejna Gordona na EqWorld The World of Mathematical Equations Nelinejnoe uravnenie Klejna Gordona na EqWorld The World of Mathematical Equations